2017年山西师范大学910数分分析与高等代数综合之数学分析考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 以
分别表示各双曲函数的反函数. 试求下列函数的导数：
由
于是
当时由
于是
（6）由（1）得
2． 计算下列三重积分：
(1) (2) ⑶
其中
其中
其中
及
所围区域；
z=0和x=h所围区域.
得
故
得
把上式中的x 替
【答案】
换为
得
【答案】(1) 因为关于平面x=0对称，被积函数关于z 为奇函数，所以
(2) 作变换
于是
则区域
变为
且
(3) 作变换
从而
3． 求f (x ) 使曲线积分
【答案】设
因为积分与路径无关，所以
即
于是得
4． 判别下列级数的收敛性：
【答案】贝尔判别法，因为
所以(2)
当当
不存在. 时，级数对，由
级数收敛.
当
时，因为
所以根据柯西判别法知级数收敛.
5． 计算重积分
SP 则区域变为
与路径无关，这里
不通过y 轴.
由柯西判别法知此级数收敛. 本题不能应用达朗
显然发散.
其中D 是以为顶点，面积为A 的三角形.
【答案】可以利用重心公式直接求得结论，本题采用具有一般性的方法进行求解. 三角形为凸集，它的点总可表示为
作变换：
所以
6． 求
（a 为常数）.
【答案】（1）当a=-1时，
（2）当
吋，
故
二、证明题
7． 设
证明：【答案】f 在
函数在
内的带拉格朗日型余项的泰勒公式为
内具有阶连续导数，且在内的泰勒公式为
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