2018年上海财经大学数学学院601数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】因
证明
单调递增趋于无穷, 故利用Stolz 公式
得
2． 设f （x ）为[a, b]上连续函数, 且对任一满足
有
【答案】令
>
则g （x ）在[a, b]上连续, 且
,
由题设有
于是
从而即
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的连续函数g （X ）,
, 证明f （x ）为常值函数.
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为常数. 3． 设
（1）（2）
【答案】（
1）
（2）用数学归纳法证明. 由（1）知, 当n=1时, 命题成立. 假设当n=k时, 命题成立, 则当时,
即当
4． 证明:若在
则.
【答案】由题设知, 当常数.
上f
为连续函数, 且对任何a>0有
, c 为常数.
时,
特别对任何x>0.今
, 则有
于是对任何a>0有
, 这里
c=f（
1）为
f
（t ）dt=常数,
,
时
, 命题也成立. 于是（2）的结论得证. , 证明:
;
二、解答题
5． 求
【答案】注意到解之得a=2, b=1, 从而有
原积分
, 可令
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6．
设
【答案】
求
7． 设
【答案】因为
8． 设
求证: （1）（2）
与
存在;
在（0, 0）点不连续;
; 同样因f
（0, y ）=0, 得
.
, 所以
.
（3）f （x , y ）在（0, 0）点可微
. 【答案】（1）因f
（x , 0）=0, 所以（2）容易求出
令y=x,
故
在（0, 0）点不连续. 同理可知
在（0, 0）点不连续. （3）由于’
按微分定义, 函数在（0, 0）点可微, 且导数连续是可微的充分条件, 不是必要条件.
是有界变量, 当
或
时, x 是无穷小量, 所以
可见偏
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