2018年山西师范大学数学与计算机科学学院619数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设f （x ）在其中C 为一常数, 试证:
【答案】
在
若由于当故当所以
根据柯西准则,
此即表明
2． 证明:若函数f 在点x 0处有
【答案】假设存在由
于是此时有
. 取
使得当
, .
时有可知, 存在
, 则当
,
. , 由
, 于是此时有, 使得当
时,
时有,
时, x 0为f 的极小值点.
,
, 则x 0为f 的极大（小）值点.
及极限的保号性知,
;
,
发散, 这与已知条件矛盾, 所以假设不成立,
即应有
在
在则存在
上连续可微, 并且
上连续,
上一致连续, 从而
对任给
上一致连续, 对于且时, 有
时, 有在存在
存在
上也一致连续. 使得
如果
（当
, 时）
故x 0为f 的极大值点. 同理可证, 当
3． 区间上的连续函数如果在任何有理点为零, 证明:此函数恒为零.
【答案】利用连续函数的局部保号性. 设函数为在有理点列
使得
可以证明对于任意的无理点, 函数值都为零, 对于区间上的任意无理点
则由函数的连续性可知
存
即证得在任意的无理点处函数值都为零.
又由己知函数在任何有理点为零, 故此函数恒为零.
4． 证明:场
【答案】对空间任一点（x , y , z ）都有
故A 是有势场. 由
故其势函数为:
是有势场并求其势函数.
二、解答题
5． 利用迫敛性求极限:（1）
【答案】（1）因为于是
而
由迫敛性得
（2）因为
所以当
时
又因为
（2）所以当
时
由迫敛性得
6． 设
⑴求（2）计算
;
.
为奇点. 记
则
显然当x →1时当对积分
,
由判别法可知,
在
,
及
的收敛性, 利用M
时,
在与
均在
. 上收敛.
上连续. 对积分
,
【答案】（1） x=1和
由此可知,
上关于一致收敛. 于是, 由可微性定理, 有
（2）因为此时,
注意到g （0） =0, 于是当
, 所以 时, 有
是关于的奇函数, 因此只需考虑的情形即可.
故