2018年山西大学数学科学学院632数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若
【答案】若从而
2． 若级数
证明级数【答案】
由
收敛,
由比较原则得正项级数如如果取
3． 证明:若级数
收敛
,
绝对收敛, 则级数收敛, 则其部分和数
列
也收敛.
有界. 设存在正数M , 使
得
【答案】因为级
数
又因为即
收敛, 从而满足不等式且
为发散的正项级数, 则必有
与发散.
收敛. 若
,
都发散. 收敛.
未必发散.
均发散, 但
与
都收敛, 且成立不等式
也收敛. 若
可得
,
都发散, 试问
一定发散吗？
与
. 都收敛, 故正项级数
又级数
为递增数列, 则无界,
则
等式成立. 若
有界, 由单调有界原理可得
存在,
收敛, 从而
绝对收敛, 由阿贝尔变换知
又由即
, 收敛可知收敛. 设
则
所以
即
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收敛.
4． 设f （x
）在明:
上连续
,
至少在两点达到最小值.
, 且f （x ）在x=a处达到最小值f （a ） 【答案】由题设知f （x ）在函数的介值性知, 所以 , 使得 , 使得显然 上的值域为 . 再由（f x ）在, 但 . 又因为 上的值域也是 , , 由连续 , 即F （x ）至少在两点达到最小值. 二、解答题 5． 设数 在[a, b]上不仅收敛, 而且一致收敛. 【答案】级数可记为由每一个 又x=a及x=b时 , 6． 求下列级数的收敛域. （1）（2）（3） . . 因为 而 所以 令当 , 解这个不等式可得时, 级数变为 . 易见其通项 第 3 页，共 41 页 为[a, b]上正的递减且收敛于零的函数列, 每一个都是[a, b]上的单调函数, 则级 设 为收敛于零的函数列, 故 则在[a, b] —致有界. 又对每一个 都是[a, b]上的单调函数可得 是单调的, 由狄利克雷判别法可知, 原级数在[a, b]上一致收敛, 从而也必收敛. , k> 1为整数; 【答案】（1）记 所以原级数在域为 处收敛; 类似的讨论可知, 原级数在处也收敛. 故原级数的收敛 （2）令 , 则原级数化为 . 易知它的收敛域为（-1, 1）. 令 . , 解之可得x>1或 x<-1, 即原级数的收敛域为 （3）用根式判别法. , 欲使P<1, 必须 级数的收敛域为（-1, 1 ）. 7． 求n 维角锥 【答案】令 . 当 时, 级数变为, 显然发散. 故原 , 的体积. 则 可得 8． 己知 【答案】首先证明 令 代入①的左端得 故①成立. 又因为 根据迫敛性可知， 所以函数f （x , y ）在原点（0, 0）处连续. 9． 已知 是 上的正的连续函数, 且 不等式得 第 4 页，共 41 页 试讨论函数f （x , y ）在原点（0, 0）处是否连续？ ① 求证: 【答案】由