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一、证明题

1． 证明

；

【答案】因为

可知对任意的此 2． 设上单调不减.

【答案】为了叙述方便, 引入一个算子D , 满足:

易知, 若设函数答:选取m

满足由由

的连续性知A 非空, 取

的定义知, 当

时,

成立, 那么

在, 对, 这与

上单调不减. 丨在

在

上非单调不减, 则存在<上应用引理, 知存在,

矛盾, 所以

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是[﹣1, 1]上的连续函数，且S （﹣1）存在.

而

在[﹣1，1]上一致收敛. |

因为

存在. 且对任何

都有

, 求证:f （x ）在（a , b ）

连续，所以

在[-1，﹣1]上连续，

收敛，故由魏尔斯特拉斯判别法

可导, 则

满足

则存在

考虑如下集合

则

使得

先证明一个十分有用的引理:

又由点集A 的定义知上确界是极限点, 因此存在令

则

及且

当n 充分大时, 有作由条件知可以验证满足使得

用反证法, 假若

由下极限的最小值性, 不难推出

, 在

上单调不减.

对任意则得. , 即证得在上单调不减.

3． 分别用有限覆盖定理、致密性定理、区间套定理证明:若f （x ）在[a, b]上有定义, 且在每一点极限都存在, 则f （x ）在[a

, b]上有界.

【答案】（1）利用有限覆盖定理证明:由已知, 使得在

内有

, 即

以此构造闭区间[a, b]的一个开覆盖.

f x ）（2）利用致密性定理证明:反证法. 假设（在[a, b]上无界

, 则对任意正整数n , 存在使得设

. 于是得到数列,

则

, 矛盾

, 由致密性定理,

中存在收敛子列

,

,

, 设

则

,

（3）利用区间套定理证明:反证法. 假设f （x ）在[a, b]上无界, 则利用二等分法构造区间套

,

使得f （x ）在每个区间上无界. 由区间套定理

, 存在唯一的然后讨论f （x

）在点f

邻域内的有界性,

推出矛盾.

4． 证明:函数

有无穷多个极大值, 但无极小值.

【答案】

令

. 解方程组可得无穷多个驻点

此时

故f （x , y）在驻点当n 为奇数时, 驻点为f （x , y）在 5． 设

证明

的充要条件是

则时, 有

则即

即当

时, 有当

时, 有

即

对

取

, 又因为

所以

处取得极大值, 极大值为

, 此时

处无极值. 综上知, f （x , y ）有无穷多个极大值, 但无极小值.

.

当n 为偶数时, 驻点为

【答案】必要性, 若对

取充分性, 若则当

时, 有

当

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6．

老

推得进而

收敛吗？ 【答案】

由

收敛. 若仅知道则

且级数

可得

收敛, 未必有

绝对收敛, 证明级数也收敛.

若上述条件中只知道

绝对收敛,

故级数

收敛, 能丨收敛,

又因为级数

收敛. 如

且, 则, 则

|.

【答案】（1）由固定,

当

时, 有

其中

, 上述

, 当

时, 有

从而

（2）令

, 则当

时,

于是

由（1）知, 上式的第二、三项趋向于零. 下证第四项极限也是零. 事实上, 由

知,

有界, 即存在M0, 使

故

从而（2）的极限是ab.

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收敛,

但发散.

;

7． 用定义证明:（1）若

（2）若

知

, , 当

时, 有

,

对固定的而言, 它是一个确定的常数. 故对