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一、证明题

1． 设

证明:

为独立随机变量序列, 且

服从大数定律.

相互独立, 且

故可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

2． 在回归分析计算中，常对数据进行变换：

其中

平方和之间的关系；

（2）证明：由原始数据和变换后数据得到的F 检验统计量的值保持不变. 【答案】（1）经变换后，各平方和的表达式如下：

所以由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计间的关系为

在实际应用中，人们往往先由变换后的数据求出

然后再据此给出

它们的关系为

是适当选取的常数.

（1）试建立由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计、总平方和、回归平方和以及残差

【答案】因

总平方和、回归平方和以及残差平方和分别为

（2）由（1）的结果我们知道数据得到的F 检验统计量的值保持不变.

3． 设存在, 试证:

【答案】因为离散场合,

当

时, g （y ）以概率

. 取

由于在Y 取固定值时,

上式对Y 的任一取值都成立, 即场合有E （h （Y ）|Y）=h（Y ）.

4． 证明公式

其中

. 在连续场合也有类似解释, 所以在一般

也是常数, 故有

是随机变量Y 的函数, 记

即说明了由原始数据和变换后

, 它仍是随机变量. 在

【答案】为证明此公式, 可以对积分部分施行分部积分法, 更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导, 证明其导函数相等.

注意到将等式右边的求导可给出_

而对

k=0.

对

其和前后项之间正好相互抵消, 最后仅留下一项,

也为明了两者导函数相等, 并注意到两者在p=l时都为0, 等式得证.

5． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立, 则

【答案】记

因为

这就证

, 且X 与Y

所以由X 与Y 的独立性得这正是二项分布

6． 设随机变量

（1）（2）

【答案】（1）设所以当即

时,

的密度函数为

时,

和

则

的密度函数为

则

与

的特征函数, 由唯一性定理知

相互独立, 且都服从（0, 1）上的均匀分布, 试证明:

是相互独立的标准正态随机变量.

所以

当

即（2）因为以

由此得

所以（X , Y ）的联合密度函数为

这说明X 和Y 是相互独立的标准正态随机变量.

7． 设X 为非负随机变量，a>0.若

【答案】因为当a>0时，

8． 设

【答案】若

, 证明:

存在，证明：对任意的x>0，有

是非负不减函数，所以由上题即可得结论. 服从贝塔分布, 并指出其参数.

, 则X 的密度函数为

由

在

上是严格单调增函数, 其反函数

为

, 所以

又因为

所

Z 的密度函数为