2017年安徽大学经济学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研题库
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一、证明题
1． 在回归分析计算中，常对数据进行变换：
其中
平方和之间的关系；
（2）证明：由原始数据和变换后数据得到的F 检验统计量的值保持不变. 【答案】（1）经变换后，各平方和的表达式如下：
所以由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计间的关系为
在实际应用中，人们往往先由变换后的数据求出
然后再据此给出
总平方和、回归平方和以及残差平方和分别为
（2）由（1）的结果我们知道数据得到的F 检验统计量的值保持不变.
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是适当选取的常数.
（1）试建立由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计、总平方和、回归平方和以及残差
它们的关系为
即说明了由原始数据和变换后
2． 证明:若与
则当时有由此写出E （F ）
【答案】由F 变量的构造知立, 因此F 变量r 阶矩为
, 其中. 由
且v 与W 相互独
容易算得
从而可得当r=l时, 只要
就有
在其他场合, 不存在.
当r=2时, 只要
就有
3． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立, 则
【答案】记这正是二项分布
4． 设X 为非负随机变量，a>0.若
【答案】因为当a>0时，
存在，证明：对任意的x>0，有
是非负不减函数，所以由上题即可得结论.
因为
的特征函数, 由唯一性定理知
, 且X 与Y
所以由X 与Y 的独立性得
5． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A-B 与C 独立.
【答案】因为
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所以A-B 与C 独立.
6． 设
是来自Rayleigh 分布Ra （θ）的一个样本，Rayleigh 分布的密度函数为
（1）求此分布的充分统计量；
（2）利用充分统计量在给定显著性水平下给出如下检验问题
的拒绝域；
（3）在样本量较大时，利用中心极限定理给出近似拒绝域. 【答案】（1）样本的联合密度函数为
由因子分解定理知，的充分统计量是（2）注意到
由此可见
是
的无偏估计.
当
较大时，
拒绝原假设
是合理的.
故对
的拒绝域为
其中c 由概率等式可以证明，
当
在原假设由等式
成立下，有
可得
记
是
分布的
分位数，可得
譬如，当n=15，即当检验统计量
时，
所以
c=21.887.
时，将拒绝原假设
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确定. 为了确定c , 需要充分统计量
时
，
由此可
得
的分布.
或
者
利用分布的分位数可确定临界值c.
认为