2018年北华大学数学与统计学院601数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 在[-a, a]上可积. 证明:
（1）若f 为奇函数, 则（2）若f 为偶函数, 则【答案】因为于是
（1）若f （X ）为奇函数, 则（2）若f （x ）为偶函数, 则
2． 设曲面z=f （x , y ）二次可微, 且充要条件是:
【答案】
为一条直线即由f （x , y ）=0所确定的隐函数y=y（x ）在xOy 平面上
, 而
. 故
由此可见, 命题成立.
3． 证明:设方程F （x , y ）=0所确定的隐函数y=f（x ）具有二阶导数, 则当
【答案】由题设条件可得
故
对右边第一个积分作代换x=—t , 则得
,
故, 故
. 证明:对任给的常数c , f（x , y ） =c为一条直线的
表示一条直线. 显然, y=y （x ）是一条直线<=>
时, 有
所以
二、解答题
4． 计算下列积分:
【答案】（1）令x=1—t , 则dx=—dt , 代入原积分, 有
所以
（用了欧拉积分
故
（2）
对上式右端第一个积分作变换:x=1+t, 则
于是有
）
5． 设函数f 在点x 0存在左右导数, 试证f 在点x 0连续.
【答案】因为f 在点x 0的左右导数当于是,
6． 讨论下列瑕积分的收敛性:
（1） （3） （5）
, 故积分
收敛.
,
（2） （4）
时,
, 即
; 当
时,
, 故f （x ）在点x 0连续.
都存在, 所以由有限增量公式:
【答案】 （1）x=0是瑕点（2）由于故积分
_收敛.
, 故x=l不是瑕点.x=0为惟一瑕点. 因
（3）x=l为瑕点（4）x=0为瑕点. 当（5）知
收敛, 从而可知时, 积分发散.
, 此时p=l, . 故积分, 这里
, 故当收敛. 又由
发散. 时, 积分收敛;
,
由收敛.
知
7． 求下列极限（其中P>1）:
（1）（2）
【答案】（1）考察级数因P>1, 故级数
存在N , 当n>N时, 有
从而, 原式=0. （2）考察级数因P>1时级i
收敛, 故由柯西收敛准则, 任意
. 存在N , 当n>N时,
收敛, 据柯西收敛准则, 任意
从而, 原式=0.
8． 讨论下列函数的连续性: