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一、证明题

1． 试证明

【答案】数集

有上界而无下界. 对任意的

故3是数集S 的一个上界.S 无下界, 因

为对于任意一个正数M , 令而

2． 证明:若f 与g 都在[a, b]上可积, 且g （x ）在[a, b]上不变号, M 、m 分别为f （x ）在[a, b]上的上、

下确界, 则必存在某实数【答案】

设

,

, 由定积分的不等式性质, 得

若

, 则由上式知

, 从而对任何实数

若令

3． 倘若例. ）

【答案】不一定. 如反例:设数列

为

为

是有界数列.

显然, 这两个数列都是无界数列, 但是

, 则得

, 则

,

且

.

均有

,

,

使得

.

因

,

, 所以

有

都是无界数列, 试问是否必为无界数列? （若是, 需作证明; 若否, 需给出反

二、解答题

4． 求下列全微分的原函数:

（1）（2）

【答案】（1）因d （xyz ） =yzdx+xzdy+xydz, 故原函数为u （x , y , z ） =xyz+C

（2）由于

故原函数为

5． 讨论下列问题:

（1）f （X ）, g （x ）在点x=0的可导性, 其中

（2）（3）微的点.

【答案】 （1）因为

故由于

故

（2）因为

»

所以f （X ）在点X=1可导, 且

因f （X ）只在点X=1连续, 在其他任一点（3）因为

故取

, 因为

,

都不连续, 从而f （X ）在点1

. 不可导.

不存在.

的可导性, 其中

则f （x ）在点x=0可微, 但在x=0的任何一个邻域内有不可

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所以

同理

从而f （x ）在

处不可微. 因

, 故在

x=0的任何邻域内都有不可微点.

6． 求下列极限（其中P>1）:

（1

）（2）

【答案】（1）考察级数因P>1, 故级数

存在N , 当n>N时, 有

从而, 原式=0.

（2

）考察级数因P>1时级i 从而, 原式=0.

7． 求下列函数的导数

【答案】（1）（2）（3

）（

4）

8． （1）设

（a0且

）, 求

;

收敛, 故由柯西收敛准则, 任意

. 存在N , 当n>N时,

收敛, 据柯西收敛准则, 任意

（2）设f （x ）是三次多项式, 且有

求

.

, 其中为

时的无穷小量.

【答案】（1）由假设可知, 而