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一、证明题

1． 证明:

（1）可导的偶函数, 其导函数为奇函数； （2）可导的奇函数, 其导函数为偶函数； （3）可导的周期函数, 其导函数仍为周期函数. 【答案】（1）设f （x ）为偶函数, 则对任意

, 有

. 设

故

是奇函数.

, 有

. 设

, 则

故

是偶函数.

故 2． 证明:

对

一致收敛.

【答案】这个积分有无穷多个奇点, 所以需要将这个积分写成级数形式

.

（令

对I 1而言, t=0为奇点. 由

及

（b < 1）的收敛性知, I1在[0, b]上一致收敛.

）

也是以T 为周期的周期函数.

（3）设f （x ）是以T 为周期的周期函数. 对任意

（2）设f （x ）为奇函数, 则对任意

则

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对I 2而言, 综上可知,

3． 设f （x ）在

（1）（2）设

为奇点. 由

在[0, b]上一致收敛.

上连续, 满足. 则有, f （t ） =t;

及（6 < 1）的收敛性知, I2在[0, b]上一致收敛.

. 设证明:

为收敛数列；

, 则t=0.

知, 数列

为收敛数列.

上连续, 对

两边取极限, 得

为递减数列. 由

知, 数列

有

（3）若条件改为

【答案】（1）由界.

根据单调有界定理, （2）设因此f （t ） =t.

, 由于f 在

（3）此时（1）, （2）的结论仍成立.

因为当推出t=0.

4． 证明:若f （x ）在[0, 1]上可导, 且f （0）=0, 对

【答案】

,

时, 所以由

f （

t ）

=t

可

有,

则

由于f （x ）在[0, 1]上连续, 从而f （x ）在[0, 1]上有界, 即于是已知

有

, 故当

时有f （X ）=0

卿f （1）=0.从而

有f （x ）=0.

因为f （x ）在点x=l左连续, 所以

有

5． 对下列命题, 若认为是正确的, 请给予证明; 若认为是错误的. 请举一反例予以否定:

（1）设（2）设（3）设（4）设

可导. 而

与

, 若f 在点x 0可导, 则, 在点x 0可导;

, 若在点x 0可导, 在点x 0不可导, 则f 在点x 0—定不可导; , 若f 在点x 0可导, 则, 在点x 0可导;

, 若在点x 0可导, 在点x 0不可导, 则f 在点x 0—定不可导.

,

, 则

, f （x ）在

处

在x 0=0处都不可导.

在x 0也可导. 这与

【答案】（1）命题错误. 如取

（2）命题正确. 反证法. 假如f 在点x 0可导, 又因在点x 0也可导, 则

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题设矛盾.

（3）命题错误. 如取处处不可导. （4）命题错误.

如取在

不可导, 而f （x ） =0在x 0=0可导.

, 且

则函数列【答案】因为

即函数列取朗日定理得

由

在

上连续, 从而一致连续,

则

, 当满足

即

时有

于是

0有

, , 即

在

上一致收敛于

, 当n>N时,

.

,

对

, 对

的极限函数为

.

, 当

时有

. 于是当

时, 由拉格

在（a , b ）内闭一致收敛于函数

.

6． 证明:若函数f （x ）在（a , b ）内有连续导数

, 则

在

可导

.

（狄利克雷函数）, 则

处处可导.

但

, 存在正整数

7． 利用施瓦兹不等式证明:

（1）若f 在[a, b]上可积, 则

（2）若f 在[a, b]上可积, 且

, 则

（3）若f , g 都在[a, b]上可积, 则有闵可夫斯基（Minkowski ）不等式:

【答案】（1）根据施瓦兹不等式, 有

（2）由f （x ）可积, 且

,

知

可积, 从而_

|

可积, 于是根据施瓦兹不等