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一、证明题

1． [1]设函数f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可微, 又f （x ）不是线性函数. 证明:使

[2]设f （x ）在[0, 1]上可导, 且内存在一组互不相等的数

使得

为n 个正数. 证明在区间[0, 1]

.. ,

【答案】过点（a , f （a ））与（b , f （b ））的直线方程为

9

=f=f. 由于f , g 显然, g （a ）（a ）（b ）（b ）（x ）不是线性函数, 故存在点不妨设

, 则有

由拉格朗日中值定理,

时, 有

, 使

[2]用上例的思路来证明之. 令

以及

显然可以求得一点

又可求得一点

使得

在每一个小区间

使使

. 取.

再在. 总之, 我们有

上, 对f （x ）应用拉格朗日中值定理, 存在

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, 使.

和, 使

, 取,

取

; .

当

于是, 总存在

当f （a ）>f（b ）时, 有

在[0, 1]上对f （x ）应用介值定理,

上对f （x ）应用介值定理,

.

, 使得

. 如此下去, 可以求出

亦即

将上式对i 从1到n 求和, 可得

2． 设

证明对于这样的当

故

所以对任给

的

时,

, 存

在

使得

当

因此

时

【答案】因

为

二、解答题

3． 设

在

上三阶可导, 存在实数, 使得

【答案】

若存在一点成立.

因此, 不妨设不失一般性, 假设则

, 而且

当

. 则必有

进而, 不失一般性还可假设考虑使得于是, 在由泰勒公式, 有

其中在X 与a 之问. 由此可知, 存在再由泰勒公式, 有

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, 使得

.

. 这是因为,

若

使

得

中有一个为零, 则结论显然

, 考虑

时,

令

. 这是因为, 若

, 而且当

时,

必有

的假设下证明本题的结论.

,

,

,

则

, 当时, .

,

4． 求下列曲线的弧长:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】 （1）

（2）曲线的参数方程为

, 于是弧长

（3）

（4）

如图所示. （5）

（6）

;

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