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一、解答题

1． 设用某仪器进行测量时, 读得n 次实验数据为值, 才能使它与这n 个数之差的平方和为最小.

【答案】x 与这n 个数之差的平方和为由又因

2． 求下列级数的和:

（1）（2）

.

, 易知其收敛域为

, 由幂级数的性质知

所以

故

（2）设

易知其收敛域为（-1, 1], 且

从而

故

得

, 故

,

为最小值点, 因此x 为

的算术平均值时,

, 于是

,

问以怎样的数值x 表达所要测量的真

它与这n 个数之差的平方和为最小.

【答案】（1）设

3

．

将函数

【答案】

在

在

上展开成傅立叶级数，

并求级数

上是偶函数，有

的和.

于是，取

4． 设

（1）证明:x=0是极小值点;

（2）说明f 在极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件. 【答案】（1）当（

2）因为由导数的定义得

取

则

于是对任意的

, 总存在

, 使得

, 所以f （x ）在极小值点x=0

处不满足第一充分条件. 又因

，得

，解得

.

时, , 而, 故

x=0是f （

x ）的极小值点

时,

,

所以f （x ）在x=0连续. 当

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故f （x ）在极小值点x=0处也不满足第二充分条件.

5． 设f 在值或最小值吗?

【答案】（1）设于是

, 当x>M时, 有

于是, 对一切（2） f 在

, 但f （x ）在

上无最小值.

而, 则对于

, 存在正数M>a, 使得当x>M时, 有

上连续,

所以f 在闭区间时有. 即f 在

上不一定有最大值和最小值. 例如,

在

.

上有界. 在上无最大值.

上连续, 且有上也连续

. 根

. 因为f 在

上连续, 且

存在. 证明:f 在

上有界. 又问f 在

上必有最大

据连续函数的有界性知, 存在正数G

, 使得当

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． 设有两条各长为1的均匀细杆在同一直线上, 中间离开距离c , 每根细杆的质量为M

, 试求它们之间的万有引力.

【答案】如图所示, 在上取一微元dr , 则dx 与的引力为

故与的引力为

图

7． 判别下列积分的收敛性:

【答案】令（1）原积分=敛,

8． 求f （X ）使曲线积分

【答案】设

因为积分与路径无关, 所以

即

,, 当2m －1<1时收敛,

时发散, 即当m<1时收

时发散. （2）原积分=

,

所以当ml时发散. 与路径无关, 这里

不通过y 轴.