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一、计算题

1． 设随机变量（X , Y ）的联合密度函数为

试求 （1）常数k ; （2）（（3）

【答案】（1）由

解得k=12. （2）当

或

时, 有

; 而当

时,

所以

（3）

2． 设差. 求k , 使得

是来自正态分布

所以

即

故

是自由度是n_l的t 分布t （n —1）的0.05分位数, 即

从而

如今n=17,

查表知

）的一个样本, 与

分别是样本均值与样本方

）的联合分布函数

;

【答案】在正态总体下, 总有

3． 将3个球随机地放入4个杯子中去，试求杯子中球的最大个数X 的概率分布.

【答案】X 的可能取值为1，2, 3, 因为3个球随机地放入4个杯子中，共有

种可能情况，

这是分母，若记事件A 为“X=l”，B 为“X=2”，C 为：“X=3”，可知A ，B ，C 互不相容，且其并为必然事件事件A 发生只能是：第1个球随机放入4个杯子中的任一个、第2个球随机放入余下的3个杯子中的任一个、第3个球随机放入余下的2个杯子中的任一个，这共有情况，所以

事件C 发生只有4种可能情况：3个球全部放在第一，或第二，或第三，或第四个杯子中，所以

又因为P （A ）+P（B ）+P（C ）=1，所以得

将以上结果列表为

表

4． 设

（1）（2）【答案】⑴

（2）

5． 某人参加“答题秀”，一共有问题1和问题2两个问题. 他可以自行决定回答这两个问题的顺序. 如果他先回答一个问题，那么只有回答正确，他才被允许回答另一题. 如果他有60%的把握答对问题1，而答对问题1将获得200元奖励；有80%的把握答对问题2，而答对问题2将获得100元奖励. 问他应该先回答哪个问题，才能使获得奖励的期望值最大化？

【答案】记X 为回答顺序为1，2时，所获得的奖励，则X 的分布列为

表

1

种可能

是来自N （8, 4）的样本, 试求下列概率

由此得E （X ）=168（元）

又记Y 为回答顺序为2，1时，所获得的奖励，则Y 的分布列为

表

2

由此得E （Y ）=176（元）

因此应该先回答问题2，可以使获得的奖励的期望值最大.

6 为考察某种维尼纶纤维的耐水性能，，安排了一组试验测得其甲醇浓度x 及相应的“缩醇化度”y ．数据如下：

表

1

（1）作散点图； （2）求样本相关系数； （3）建立一元线性回归方程； （4）对建立的回归方程作显著性检验

【答案】（1）散点图如图，y 有随着x 增加而増加趋势

.

图

（2）由样本数据可以算得

因此样本相关系数

（3）应用最小二乘估计公式

，线性回归方程为

于是一元