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一、计算题

1． 设随机变量X 的分布函数如下，试求E （X ）

.

【答案】X 的密度函数（如图）为

图

所以

2． 口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5. 从中任取3个，以X 表示取出的3个球中的最大号码.

（1）试求X 的分布列；

（2）写出X 的分布函数，并作图. 【答案】（1）从5个球中任取3个，共有号码，则X 的可能取值为3，4，5.

因为

所以

1种等可能取法.X 为取出的3个球中的最大

且当

时，

有

所以X 的分布列为

表

（2）由分布函数的定义知

F （x ）的图形如图

.

图

3． 在生产力提高的指数研究中已求得三个样本方差，它们是

请用Bartlett 检验在显著性水平【答案】由已知条件

本量大于5，可采用Bartlett 检验. 此处，

从而可求得Bartlett 检验统计量的值为

对显著性水平

查表知

拒绝域为

由于检验

统计量值故应接受原假设认为三个总体的方差无显著差异.

4． 一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一件，试求取到三级品的概率.

【答案】设取到三级品的概率为P ，则取到二级品的概率为2p ，取到一级品的概率为6p ，

由

解得P=l/9.

5． 设

是来自U （-1, 1）的样本, 试求

和

下考察三个总体方差是否彼此相等.

三组样本量分别为9，12，6，最小样

【答案】均匀分布U （—1, 1）的均值和方差分别为0和1/3, 该样本容量为n , 因而得

6． 某人每天早上在汽车站等公共汽车的时间（单位：mk ）服从均匀分布假设的先验分布为‘求后验分布.

【答案】

与的联合分布为

此处

于是的后验分布为

所以

与的联合分布为

，其中未知，

假如此人在三个早上等车的时间分别为5, 3, 8min ，

7． 设K 服从（1，6）上的均匀分布，求方程

【答案】方程

有实根的充要条件是

，因此所求概率为

而K 〜U （l ，6）

8． 设

是来自正态总体

的一个样本，对

考虑如下三个估计

（1）哪一个是

的无偏估计？

故有

这说明仅有

的无偏估计，而

的有偏估计.

（2）我们知道，估计的均方误差是估计的方差加上偏差的平方，即

而

这给出

于是

有实根的概率.

（2）哪一个均方误差最小？ 【答案】（1）由于

从而