2017年哈尔滨工业大学概率论与数理统计复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 从（0, 1）中随机地取两个数, 求其积不小于3/16, 且其和不大于1的概率。
【答案】设取出的两个数分别为X 和Y , 则（X , Y ）的联合密度函数为
因为
的非零区域与
的交集为图阴影部分
.
图
所以
2． 设随机变量X 服从（-1，2）上的均匀分布，记
试求Y 的分布列. 【答案】因为
表
3． 一批产品中有10%的不合格品，现从中任取3件，求其中至多有一件不合格品的概率.
，所求概率为
【答案】记X 为取出的3件产品中的不合格品数，则X 〜b （3，0.1）
4． 在一批灯泡中抽取300只作寿命试验，其结果如下：
表
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所以Y 的分布列为
在显著性水平为0.05
下能否认为灯泡寿命服从指数分布【答案】这是一个检验总体是否服从指数分布
本题中总体分成4类，在原假设成立下，每类出现的概率及
的假设检验问题.
分别为
因而，检验的统计量为
这里k=4，检验拒绝域为
若取
则
由于
未
落入拒绝域，故不拒绝原假设，在显著性水平为0.05
下可以认为灯泡寿命服从指数分布
此处检验的p 值为
5． —个质点从平面上某点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，每次游动的距离为1，求经过2n 次游动后，质点回到出发点的概率.
【答案】因为每次都等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，所以经过2n 次游动后，样本空间中共有
设所求事件为
样本点共有本点总数
它为
由此得所求概率为
可算得：
6． 设随机变量
相互独立, 且都服从（
）上的均匀分布, 记
试求E （Y ）和E （Z ）. 【答案】记
的密度函数和分布函数分别为
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个样本点.
事件
发生要求（1）上下游动次数相等；（2）左右游动次数相等，否则不
个，当k 从0到n 累加起来就得事件
所含样
可能回到出发点，若上、下游动各k 次，那么左、右游动只能各n-k 次，这样共游动2n 次，此种
则当0 所以 7． 某种导线的质量标准要求其电阻的标准差不得超过根，测得样本标准差为导线的标准差显著地偏大？ 【答案】本题是单侧检验问题，待检验的原假设和备择假设分别为 若取查表知拒绝域为由所给条件可得出检验统计量为 因此拒绝 ，在显著性水平 下认为这批导线的标准差显著地偏大. 为检验 试求检验的势函数以及检验犯两类错误的概率. 是检验拒绝原假设的概率， 为 的函数， 为 当当 时，势函数就是检验犯第一类错误的概率，为 即 在0.5到0.75间变动. 时，1减去势函数就是检验犯第二类错误的概率，它 是 现观测1 8． 设总体密度函数为个样本，并取拒绝域为 【答案】由定义，检验的势函 数 今在一批导线中随机抽取样品9 下能否认为这批 设总体为正态分布，问在显著性水平 二、证明题 9． 从同一总体中抽取两个容量分别为mm 的样本, 样本均值分别为 , 将两组样本合并, 其均值、方差分别为 证明: , 样本方差分别为 第 4 页，共 23 页
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