2018年新疆农业大学林业研究所601大学数学1之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
与
相似. 试求a , b , c 及可逆矩阵P ，使
【答案】由
于故B 的特征值
为
从而B
可以对角化为
分别求令
所对应的特征向量，
得
有
即a=5.
由
得A ，B 有相同特征值
，
故
再由得b=-2, c=2，于是
分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得
：令
记
有
.
因此
即
则P 可逆，
且
2．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A 的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A
有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化
，因此矩阵A 和B 不相似。
3． 设
（1）计算行列式∣A ∣；
（2）当实数a 为何值时，线性方程组【答案】
有无穷多解？并求其通解.
若要使得原线性方程组有无穷多解，
则有及
得
此时，
原线性方程组增广矩阵为
进一步化为行最简形得
可知导出组的基础解系为
非齐次方程的特解为
故其通解为k
为任意常
数
. 4
． 已知
且
. 求
又又
知
即
得
故
知
故
【答案】
由题意知
二、计算题
5． 设矩阵
【答案】先求x ，y :
因得y=l+x. 因
是A 的特征值，有
与相似，求x , y ; 并求一个正交阵P ，使
相似，故A 的特征值是5，-4，y , . 由特征值性质：
5+（-4）+y=A的特征值之和=A的对角元之和=2+x.