2018年新疆农业大学林学与园艺学院610大学数学2之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
2．
设矩阵.
【答案】
故
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
求A 的特征值，并讨论A 是否可对角化? 若A 可对角化，则写出其对角
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于是A 的3个特征值为（Ⅰ）当
且
时，A 有3个不同特征值
，故4
可对角化，且可对角化为
（Ⅱ）当a=0
时
，
此时A 有二重特征值1，
仅对
应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
（Ⅲ
）当
时，
此
时
A
有二重
特征
值
而
仅对应1
个线性无关的特征向量，
故此时A
不可对角化.
3．
设线性方程m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况
，备解时求出其解
.
作初等行变换，
如下
（
1）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解. 此时原方程组与同解，解得其基础解系为
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故原方程组的通解为
（3
）当
（4
）当
即
时
为任意常数. 此时方程组无解. 时
此时方程组无解.
4． 证明n
阶矩阵
与相似.
【答案】
设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
所以B 的n
个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1
重特征值
对于n-1
重特征值由于矩阵（0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步
矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可
知n
阶矩阵
与相似.
二、计算题
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