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一、解答题

1． 已知A

是

矩阵，齐次方程组

的基础解系是

与由

的解.

对

得到

所以矩阵

的基础解系为

则既可由

对

作初等行变换，有

不全为

当a=0时，

解出

因此，Ax=0与Bx=0

的公共解为

2．

已知矩阵可逆矩阵P ，使

和

若不相似则说明理由。

试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出

其中t 为任意常数.

线性表出，也可

有非零公共解，求a 的值并求公共解.

知

贝腕阵

的列向量（即矩阵

作初等行变换，有

又知齐

次方程组Bx=0

的基础解系是

（Ⅰ）求矩阵A ;

（Ⅱ

）如果齐次线性方程组

【答案】（1

）记

A

的行向量）是齐次线性方程组

（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0

的非零公共解为由

线性表出，

故可设

于是

【答案】由矩阵A 的特征多项式

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得到矩阵A 的特征值是当

时，由秩

知

有2

个线性无关的解，

即

时矩阵A 有2

个线性无关的特征向量，

矩阵

A 可以相似对角化

，因此矩阵A 和B

不相似。

3

． 设三阶方阵

A 、

B

满足式

的值.

其中E

为三阶单位矩阵. 若

求行列

【答案】

由矩阵

知则. 可

逆. 又

故即

所以即而

故

4

． 设B 是

（I ）证明

（

II ）证明（III ）若【答案】⑴

矩阵

逆

其中E

是n

阶单位矩阵.

且A 可对角化，求行列式

（II ）

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（Ⅲ）设

则由

知

即

或1. 又存在可逆矩阵p ,

使或1.

二、计算题

5． 在R 中取两个基

（1）求由前一个基到后一个基的过渡矩阵； （2

）求向量

【答案】（1）显然有

在后一个基下的坐标；

（3）求在两个基下有相同坐标的向量

所以过渡矩阵为（2

）设向量在后一个基

下的坐标为

则由坐标变换公式，有

（3）设向量Y

在两个基下有相同的坐标

为Y ，则

，

由坐标变换公式并仍记坐标向量

即（P-E ）Y=0.易求得此齐次线性方程系数矩阵的秩R （P-E ）=3,

从而解空间的维数等于1，

且为它的一个基础解系.

故所求向量为k 为任意常

数.