2018年云南大学数学与统计学院606高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 设矩阵
则A 的秩为_____ 【答案】【解析】由
可知秩为
2． 设A , B为3阶矩阵，E 是3阶单位阵，满足
则B=_______ 【答案】【解析】
又因为
3． 设A , B为3阶矩阵，且
【答案】3 【解析】. 又由于所以
4． 二次型
【答案】2
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3
已知
可逆. 所以
则=_____
，
，所以.
的秩为_______
【解析】二次型的秩即其矩阵的秩，该二次型矩阵
显然r （A ）=2
二、分析计算题
5．
设
为数域K 内的n 个互异数,
的一基:
②当K 为复数域且取阵.
【答案】①显然只证 令得
同理得②由于
故
线性无关, 为一基.
由此得由基
到基
的过渡矩阵为C
（C
的第i 列元素为
）.
6． 判别下列二次型是否正定：
【答案】（1）这个二次型的矩阵为
用
表示A 的顺序主子式，则
为全体n 次单位根, 故 代入上式, 由于
互异, 故
线性无关即可, 设有K 中数
而
使
（1
） 从而由（1）
为全体n 次单位根时,
求由基
到基
的过渡矩
证明:①以下的n 个多项式是n 维空间
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所以，这个二次型是正定的
. （2）
因为（3）
所以这个二次型不是正定的.
因为
所以这个二次型是正定的. （4）是.
7． 已知线性变换T 在基
下的矩阵为
求它在基
下的矩阵.
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