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一、证明题

1． 设

是n 维空间V 的两个子空间, 且其维数之和等于n. 证明:存在V 的线性变换V 使

【答案】若则取

若

则取即得.

设

维数分别为S , T （于是）且

分别为与

的一基. 现扩充使

（其中为

个向量）为V 的一基. 于是, 存在T 的线性变换T 使

由此可得

下再证: 任取则

再令

则由（1）得

所以

因此,

又因为故由（1）知

从而

2． 设

是线性空间V 的子空间, 证明:

【答案】①任取 则

且

令 则故

从而

因此,

反之, 任取

令

其中

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（1）

（2） （1）

（2）

从而

②在（1）式中, 把换成再将此等式中 3．

【答案】

于是又有

故（1）成立.

得

互换, 即得（2）.

通常称为与的距离，证明:

4． 设A 为

矩阵，E 是n 阶单位方阵. 证明：

矩阵.

E 的行向量组为，（均为几元行向量）有解，则说明

可由

（即

线性表示，从

其中B ，C 都是

【答案】①设A

的行向量组为n 元单位向量）. 若矩阵方程而

反之，若表示，当然

②C , 即PB=C.

反之，设AB=AC, 则必r （A ）=n.

因若在

使

则n 元向量组

的秩是n ，从而任何n 元向量都可由它线性

也可由它线性表示. 由组合系数所构成的n ×m 矩阵即为XA=E的解.

B=则由上知方程XA=E有解X=K, 即XA=E, 于是由AB=AC可得（KA ）（KA ）

则齐次线性方程组AX=0有非零解，从而存

但

矛盾.

5． 证明:第二类正交变换一定以一1作为它的一个特征值.

【答案】设

是n 维欧氏空间的一个第二类正交变换. 那么

所以t 一定是一个奇数,

6． 证明:

【答案】设则存在

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的行列式等于-1. 如上题有

以一1为特征值.

.

，使

反之设于是

则有

故（

7． 设A 是

【答案】

秩

又因为所以

从而

实矩阵，求证：

秩

.

秩

秩

秩

由

8．

设

必存在非零向量【答案】令因为

于是存在非零向量

线性表示, 又可以由

所以

即

可解得

秩

是

矩阵,

秩秩秩

秩

. 是nxs 矩阵

, 线性表示, 又可由

由

得

且

故

既可以由

证明:

若

线性表示.

使得既可由

线性表示.

9． 证明:一个向量组的任何一个线性无关组都可扩充成一个极大线性无关组.

【答案】设向量组为

则但是

则

再从这时

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它的一个线性无关部分组不妨设为

自身就是它的极大线性无关组

. 中任何向量加入

后成为线性相关向量组， 使得

仍是线性无关的.

就是的极大无关组

.

中有向量，不妨设为

种情形，则还可再扩大. 但是有

时属于情形

或情形

这个线性无关组出发，若还是属于第

就是所要的极大线性无关组.

限数，不能无限扩大. 必然在扩充到某个无关组