2018年浙江理工大学理学院912高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设n 元线性方程组
，其中
（1）证明行列式
（2）当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求【答案】（1）证法1记
（3）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.
:
以下用第二数学归纳法证明当当
时，时，
，所以
时结论成立. 按第一行展开得
假设结论对于小于n 的情况成立，将
故证法
2
（2）当式为
时，方程组系数行列式
，故方程组有唯一解，将
第1列换成b ，得行列
由克莱姆法则，（3）当
时，方程组为
此时有无穷多个解，其通解为
2． 设A ，B 均为n 阶方阵，证明：
【答案】
3． 计算行列式
为任意常数.
【答案】解法1第行都乘一1加到第1行，得
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解法2
先从第列提出公因子
，然后各列都乘-1加到第一列，即
4．
设
【答案】先证必要性. 因为
所以存在
使得
此即再证充分性. 因为同理
5． 设A 为4阶矩阵, 且存在正整数k ,
使
【答案】由是
由
又A 的秩为
3, 分别求出A 与的若当标准形.
故A 的若当标准形
所以
则
知A 的特征值为
0 （4重）, 0的几何重数是则
由于
于是的初等因子为
故
的初等因子为
从而
的若当标准形为