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一、计算题

1． 设

【答案】因

其中

故

于是

2． 设

【答案】由因

它的行列式

左乘上式两边得

AB=A+2B, 求B.

故它是可逆阵. 用

求

3． （1）设

（2）设

求

求

【答案】因A 是对称阵，故正交相似于对角阵 ⑴由

求得A 的特征值为对应

解方程（A-E ）x=0，由

得单位特征向量

对应

解方程（A-5E ）x=0，由

得单位特征向量令

则P 是正交阵，且有

（2）这是求矩阵A 的多项式的问题.A 的特征多项式

于是A 的特征值

因为A 是对称阵，则存在正交阵也即

其中

这样，只需计算出

即对应

解方程（A+E）x=0，由

得单位特征向量

的单位特征向量，代入上式即得

使

并且Q 的列向量是对应特征值的单位特征向量，i=l，2, 3. 从而有

代入（1）式，即求得

4． 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求

【答案】

令

的特征值. 又：

征值性质得

5． 求一个正交变换化下列二次型成标准形

（1）（2）

是

的全部特征值. 由特是

因1，2, 3是A 的特征值，

故

为3阶方阵，于是

【答案】（1）二次型f 的矩阵为

它的特征多项式为

所以A 的特征值值为

对应特征值

解方程（A-E ）x=0，由

得单位特征向量对应特征值

解方程（A-2E ）x=0，由

得单位特征向量

对应特征值解方程（A-5E ）x=0, 由

得单位特征向量