2017年武汉科技大学线性代数(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设A ，B 都是n 阶对称阵，证明AB 是对称阵的充要条件是AB=BA.
【答案】因
故AB
为对称阵
2． 证明对称阵A 为正定的充要条件是：存在可逆阵U ，使
【答案】充分性：若存在可逆阵U , 使处的值
即矩阵A 的二次型是正定的，从而由定义知.A 是正定矩阵. 必要性：因A 是对称阵，必存在正交阵Q , 使
其中
2, …, n 记对角阵从而
显然U 可逆，
并且由上式知
即A 与单位矩阵E 合同. 就有
即矩阵A 的二次型是正定的，从而由定义知.A 是正定矩阵. 必要性：因A 是对称阵，必存在正交阵Q , 使
其中
2, …, n 记对角阵从而
显然U 可逆，
并且由上式知
记
是A 的全部特征值. 由A 为正定矩阵，
故
并且A 的二次型在该
记
是A 的全部特征值. 由A 为正定矩阵，
故
任取
即A 与单位矩阵E 合同. 就有
并且A 的二次型在该
3． 证明对称阵A 为正定的充要条件是：存在可逆阵U ，使
【答案】充分性：若存在可逆阵U , 使处的值
任取
4． 设A , B 都是正交阵，证明AB 也是正交阵.
【答案】方法一、由定义，知AB 为正交阵.
方法二、因A , B 为正交阵，故A ，B 均可逆，且
，从而AB 是正交阵.
于是AB 可逆，且有
5． 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：
（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （4）2 4 1 3；
（5）1 3... （2n-1） 2 4 ... （2n ）； （6）1 3... （2n-1） （2n ） （2n-2）... 2. 【答案】（1）此排列为自然排列，其逆序数为0;
（2）此排列的首位元素的逆序数为0; 第2位元素1的逆序数为1; 第3位元素3的逆序数为1; 末位元素2的逆序数为2, 故它的逆序数为0+1+1+2=4;
（3）此排列的前两位元素的逆序数均为0; 第3位元素2的逆序数为2; 末位元素1的逆序数为3, 故它的逆序数为0+0+2+3=5;
（4）类似于上面，此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0, 0, 2, 1，故它的逆序数为0+0+2+1=3;
（5）注意到这2n 个数的排列中，前n 位元素之间没有逆序对. 第n+l位元素2与它前面的n-l 个数构成逆序对，故它的逆序数为n-l :同理，第n+2倍元素4的逆序数为n-2;; 末位元素2n 的逆序数为0. 故此排列的逆序数为
（6）与（5）相仿，此排列的前n+1位元素没有逆序对；第n+2位元素（2n-2）的逆序数为2; 第n+3位元素2n-4与它前面的2n-3，2n-l , 2n ，2n-2构成逆序对，故它的逆序为4; …；末位元素2的逆序数为2（n-l ）, 故此排列的逆序数为2+4+…+2（n-1）=n（n-l ）.
6． 设A , B 都是n 阶矩阵，且A 可逆，证明AB 与BA 相似.
【答案】因A 可逆，故
7． 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求
【答案】由特征值性质得A 的特征值时，阶方阵，
故
8． 证明:
（1）
是B 的特征值. 分别取
知A 可逆，并且
因为当
为
知-1，5, -5是B 的特征值. 注意到B 为3由定义，AB 与BA 相似.
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案】
（2）将左式按第1列拆开得
其中
于是（3）左式：