2017年中国刑事警察学院高等数学(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 计算
【答案】
2． 质量为1g （克）的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成
2
反比，在t=10s时，速度等于50cm/s外力为4g ·cm/s，问从运动开始经过了一分钟后的速度是多
，其中
少？
【答案】设在时刻t ，质点运动速度为v=v（t ）。据题设条件，
有m=1, t=10, v=50, f=4，
得
。
代入条件：t=10, v=50, 得c=500，于是有特解当t=60（s ）时，
3． 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:
（l ）曲线在点（x ，y ）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;
（2）曲线上点P （x ，y ）处的法线与z 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.
，它在点（x ，y ）处的切线斜率为y ＇，依条件，有y ＇【答案】（l ）设曲线方程为y=y（x ）=x2此为曲线方程所满足的微分方程.
，
故该点处法线斜率为（2）设曲线方程为y=y（x ）. 因它在点P （x ，y ）处的切线斜率为y ＇.
，于是有由条件知PQ 之中点位于Y 轴上，故点Q 的坐标是（-x ，0）方程为
，且由，积分
得
，故有微分方
程，分离变
量，
，即微分
4． 两个无穷小的商是否一定是无穷小? 举例说明之.
【答案】不一定，例如，
不是当
时的无穷小。
与
都是当
时的无穷小，但
，却
二、计算题
5． 计算二重积分
【答案】根据对称性可知
，其中
=0，所以有
6． 利用柯西审敛原理判定下列级数的收敛性:
【答案】
由于
故
.
于是，当p 为奇数时，有
当p 为偶数时，有
因此，对任意给定的正数
取正整数
。当n>N时，对任何正整数p ，都有
根据柯西审敛原理知，级数收敛.
（2）当n 是3的倍数时，如果取p=3n，则必有
于是对不论N 为何正整数，当n>N并n 是3倍的时候，且当p=3n时，就有
根据柯西审敛原理知，级数发散. （3）
由此可知，对任意给定的正数ε，取正整数都有
（4）本题与（2）类同，因不论n 取什么正整数，取p=n时，就有
，当n>N时，对一切正整数p ，
按柯西审敛原理，该级数收敛。
故对
因此该级数发散.
7． 设在xOy 面内有一分布着质量的曲线弧L ，在点（x ，y ）处它的线密度为（x ，y ）. 用对弧长的曲线积分分别表达:
（1）这曲线弧对x 轴、对y 轴的转动惯量I x ，I y ； （2）这曲线弧的质心坐标
。
，【答案】（l ）设想将L 分成n 个小弧段，取出其中任意一段记作ds （其长度也记作ds ）（x ，y ）为ds 上一点，则ds 对x 轴和对y 轴的转动惯量近似等于
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