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一、证明题

1．

设

是曲面F （x , y , z ）=1的非奇异点, F 在

可微, 且为n 次齐次函数. 证明:此曲

面在P 0处的切平面方程为

【答案】由于F 为n 次齐次函数, 且F （X , y , z ）=1.故有

曲面在处的切平面方程为

即

而由①式知

故由②知曲面在P 0处的切平面方程为

故

2． 设f 为

上以p 为周期的连续周期函数, 证明对任何实数a , 恒有

【答案】令, 则从而F （a ）=c（常数）, 令a=0, 得,

故有

3． 设

且

, 求证

:

【答案】改写

4． 设函数f （X ）, g （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可导, 且

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①

②

求证:如果严格单调增加, 则,

和

分别代替f （x ）, g （x ））, 根据柯西中值

都严格单调增加. 【答案】

不妨设

定理, 存在

使得

又因为

严格单调增加, 所以

从而

从而 5． 设上单调不减.

【答案】为了叙述方便, 引入一个算子D , 满足:

易知, 若设函数答:选取m

满足由由

的连续性知A 非空, 取

的定义知, 当

时,

成立, 那么

在

上单调不减. 丨在

上非单调不减, 则存在<

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（否则用

严格单调増加. 同理可证单调增加.

且对任何都有, 求证:f （x ）在（a , b ）

可导, 则

满足

则存在

考虑如下集合

则

使得

先证明一个十分有用的引理:

又由点集A 的定义知上确界是极限点, 因此存在令

则

及且

当n 充分大时, 有作由条件知可以验证用反证法, 假若

由下极限的最小值性, 不难推出

,

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满足使得对任意 6． 设

在

, 对, 这与

在上应用引理, 知存在,

矛盾,

所以

则得.

在

上单调不减.

在

上单调不减.

, 即证得

证明

:

上二次可微, 且

【答案】

7．

设f

与g 是定义在

证明:若【答案】因为

与

上的函数, 对任何

u>a, 它们在[a, u]上都可积

.

收敛,

则

与>并且

和

也都收敛.

都收敛, 所以

, 根据比较判别

收敛. 又因为

法,

8． 证明:

若

致地成立,

即对任意

【答案】先证由于

.

又由于f （x , t ）对任何因此对从而

一致收敛于

,

都有

, 存在X , 对一切x>X和在

也收敛. 在

时一致收敛于F

（x ）.

且

收敛.

时一致收敛, 因此任给

存在N , 对一切

对任何对一切

成立, 则有

一

存在M>0, 当x>M时,

, 和一切,

都有

即再证

收敛.

考虑

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