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一、证明题

1． 设函数f 只有可去间断点, 定义

【答案】设g 的定义域为D ,

时

,

（x ）的值由f （y ）在邻域性和

得

即

的值决定, 而在

即当

上

时,

, 则

证明g 为连续函数.

. 对于任给的;

设

, 存在,

由

,

使得当知g 由保不等式故g （x ）在

x 0连续. 由x 0的任意性知, g （x ）在D 上连续.

2． 证明:若三角级数

中的系数

满足关系

M 为常数, 则上述三角级数收敛, 且其和函数具有连续的导函数. 【答案】

设

上连续, 由

可知

且级数

收敛, 故级数

在

上一致收敛, 记

又因为

所以

且

时

&

上均连续, 且

及级数

收敛, 故可得级数

收敛且一致收敛, 记

由定理（连续性）可知, 该级数的和函数g （x ）在知

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故的每一项均

在

上连续. 又由定理（逐项求导）

所以级数的和函数S （x ）有连续的导函数g （x ）.

3． 证明公式

【答案】

二、解答题

4． 设a

.

【答案】方法一:由配方得到

*

其中. 作变量代换, 则有

原式

方法二:因为被积函数的定义域为（a , b ）, 所以可设

. 从而

又注意到

故有

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5． 设

满足方程组

这里所有的函数假定有连续的导数.

（1）说出一个能在该点邻域内确定x , y , z 为u 的函数的充分条件； （2）在

【答案】 （1）设

由已知条件 （i

）（ii

）（iii

）故当

时, 原方程组能在（2）在

的邻域内确定x , y , z 为u 的函数.

；的情况下, 上述条件相当于

即

两两互异. 在把内连续；

在R 内具有一阶连续偏导数；

4

的情形下, 上述条件相当于什么？

6． 设f （x ）在（0, 1）内有定义, 且

求证:【答案】因为

所以对任意给定的

, 使得当

时,

（*）

, 由（*）得

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