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一、解答下列各题

1． 证明:黎曼函数

在[0, 1]上可积.

【答案】由黎曼函数的性质, 个, 记为

作[0, 1]的分割T :

, 使其满足

由于

而在上式右边第一个和式中,

有

, 所以有

由第二充要条件, 黎曼函数在[0, 1]上可积.

2． 设f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可导, 且

. 证明:

【答案】将结论变形为

进而写成

由使

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, 在[0, 1]上使得的点至多有有限个, 不妨设是k

且; 在第二个和式中,

有

且

, 使得

可以看出, 首先应对f （x ）和在[a, b]上应用柯西中值定理. 这样就有,

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在式（1）中, 若

, 即

再结合式（2）, 问题就解决了. 而对f （x ）在[a, b]上应用拉格朗日中值定理即可知式（3）成立.

3． 证明:

若在

则.

【答案】由题设知, 当

上f 为连续函数, 且对任何a>0有

, c

为常数.

时,

特别对任何x>0.今

, 则有

于是对任何a>0有

, 这里c=f（1）为

f （t ）dt=常数,

,

常数.

4． 证明:对任一多项式p （X ）, —定存在x 1与x

2, 使p （X ）在调.

【答案】

设

当

n 为偶数时, n-l 为奇数, 此时有时, 严格递增

.

当n 为奇数时, n-l 为偶数,

则时,

5． 设f 在

令

, 则p （x ）在

内有定义. 证明:若对任何数列

目.

下面证明A=B.

作数列

且

都相等.

由题设

与

且

由题设知如下

,

存在. 于是对于

, 当

时,

于是, 在

与

内分别严格单

, 则 不妨设

故存在

内p （

x ）严格递减,

在

, 故存在

, 使得当内p （

x ）

, 使得当

内分别严格递增.

极限

都存在, 则所都存在.

的两个子列

,

且

有这些极限都相等.

【答案】设数列设则

必有

极限

于是A=B.由数列的任意性知, 对任何数列

6． 若

f

在[0, a]上连续可微, 且f （0）=0, 则

【答案】因为

第

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且

由施瓦兹不等式可知,

, 所以

因此

二、计算下列各题

7． 计算第二类曲线积分

:

【答案】令

则所求的积分为

令

, 则

8． 求下列极限:

（1）（2）（3）

【答案】（1）因为

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, 方向为逆时针。