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一、证明题

1． 设函数f 在区间（a , b ）内的各阶导数一致有界, 即存在正数M , 对一切

证明:对（a , b ）内任一点x 与x 0有

【答案】任意

依题意有

其中

介于与x 之间.

又f 在（a , b ）上的各阶导数一致有界, 故

从而

由定理得

, 恒有

有

2． 证明:（1） f 为区间I 上凸函数的充要条件是对I 上任意三点

（2） f 为严格凸函数的充要条件是【答案】

因为

, 所以

, f 为严格凸函数的充要条件是

由此可知, f 为凸函数的充要条件是

3． 利用单调有界原理证明确界原理.

.

.

【答案】设S 是非空有上界的数集, M 是S 的一个上界. 若S 有最大值, 则最大值即为S 的上确界. 若S 无

最大值, 任取. 记左半区间为

. 数列

, 将.

然后将单调递增,

二等分, 若右半区间含有S 的点, 则记右半区间为二等分,

用同样的方法选记单调递减, 且

,

, 否则

, 如此下去,

得一区间套

中含有S 的点, 在b n 的右侧不含S 的点. 由{an }单调递增有上界, 所以存在

,

首先,

分大时有

4． 设

有

, 往证为S 的上确界.

. 若不然, 则存在

, 使得

, 使得

. 因为

使得

所以存在正整数N ,

使得, 由

知, 当n 充

, 于是在b n 的右侧含有S 中的点, 矛盾, 故是S 的上界. 其次,

, 于是存在为开集f , g :

, 即为S 的上确界.

也是可微函数, 而且

又由f （x ）在x 0处可微, 知f 在x 0处连续,

从而

所以

均为可微函数, 证明:, 因为f , g 在x 0处可微, 所以

.

【答案】对

在x 0附近有界,

即,

使

这表明,

5． 设函数f 在

【答案】设由于是

在x 0处可微, 且

, 由x 0的任意性, 知

, 且

, 则

. 证明:

. 由归结原则得

在D 上可微, 且

上满足方程, 令得

同理, 由

也可推出

, 因此,

6． 利用单调有界原理证明下列结论:

（1）设（2）设（3）

设且相等.

【答案】（1）因为

, 所以{Xn }单调递增. 由不等式

9

即{Xn }有上界, 从而数列{Xn }收敛. （2）因为

所以又因为

, 即{Xn }单调递减.

, 所以

即{Xn }有下界. 从而数列{Xn }收敛. （3）由已知所以当

时有

又

所以{Xn }单调递减, {以单调递增, 从而当

时, 有

即{Xn }有下界, {Yn }有上界, 从而它们的极限都存在. 设其极限分别为x 和y ,

则对

两边取极限得x=y.

因为

得

, 则数列{Xn }收敛; , 则数列{Xn }收敛;

, 则

与

都存在

二、解答题

7． 求下列不定积分:

（1）（3）

【答案】（1）令

（2

）

（4

）

,

则