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一、证明题

1． 证明:若函数f 和g 均在区间I 上可导, 且相差某一常数, 即

【答案】令数,

即

. 亦即

（c 为某一常数）.

2． 证明定理 （有限覆盖定理）:

设个开域用直线

为一有界闭域

,

为一个开域族, 它覆盖了 D （即‘

）.

t 之中, 并假设D 不能被

中有限个开域所覆盖,

分成四个相等的闭矩形, 那么至少有一个闭矩形

其中每一个闭矩形

中都至少含

）. 则在

中必存在有限

它们同样覆盖了 D （即

把矩形

（c 为某一常数）. , 则在I 上有

可知h （x ）为I 上的常量函则在区间I 上f （x ）与g （x ）只

【答案】设有界闭域D 含在矩形它所含的D 的部分不能被所含的D 的部分都不能为有D 的一点, 任取其中一点为

由闭矩形套定理可知:存在一点由于

中有限个开域所覆盖, 把这个矩形（若有几个, 则任选其一）再分为中有限个开域所覆盖, 于是, 每个闭矩形

则

且

满足对任意的自然数N 都有:

四个相等的闭矩形, 按照这种分法 继续下去,

可得一闭矩形套

所以

又因在由于

是有界闭域D 上的点, 所以中必有一开域包含

不妨设此开域为

使得

故n 充分大时, 恒有

可见, 矩形

包含于邻域

中, 从而包含于开域中,

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按定理条件,

.

则必存在点和一个邻域

但是, 这与每个故

中所含的D 的部分不能被中有限个开域所覆盖矛盾,

中必有D 的有限开域覆盖.

3． 叙述（1）有限覆盖定理和（2）魏尔斯特拉斯（Weierstrass ）定理（致密性定理）, 并用（1）证明（2）.

【答案】⑴有限覆盖定理:

若

个开区间来覆盖[a, b].

（2） Weierstrass 定理（致密性定理）:有界数列必存在收敛子列. 反证法. 设数列则对任意的由此可知, 存在显然

为

在

不是

若

中无收敛子列,

中的有限项.

中存在有限个开区间

根据项, 这与

的构造性质可知, 中,

中也只含有

中的有限项, 从而[a, b]中也只含有

中的有限

中任意一子列的极限.

中至多只含有

为闭区间

的一个（无限）开覆盖,

则在

中必存在有限

于是得一满足上述条件的开区间族

的一个开覆盖, 由有限覆盖定理,

矛盾, 所以结论得证.

二、解答题

4． 设f （x ）在

【答案】由条件得

即

5． 求下列均匀密度的平面薄板质心:（1）半椭圆的等腰梯形.

【答案】（1）设质心位置在

, 由对称性

,

（2）设等腰梯形在直角坐标中位置如图, 其质心位置为

图

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上连续, 且满足条件. 求证:f （x ）为一常数.

.

（2）高为h , 底分别为a 和b

. , 由对称性,

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其中

6． 讨论狄利克雷函数

的有界性、单调性与周期性

. 【答案】①对于任意的②

而

③对于任意的正有理数r 有

因此, 对任意

有

所以, 任意正有理数都是

7．

若一元函数

的周期,

即

是

R 上的周期函数.

总有

故可见,

在R 上有界. 在R 上不具有单调性.

在[a, b]上连续,

令

试讨论f

在D 上是否连续？是否一致连续？ 【答案】

先讨论f 在D 上的连续性

. 任取

且因此当

于是

f （x , y ）在点由于

因为时, 有

且

时,

处连续,

因而f 在D 上连续.

下面讨论f 在D 上的一致连续性:

在[a, b]上连续, 从而一致连续.

存在

使当

且

因此, 当

故f 在D 上一致连续.

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在[a, b]上连续, 从而

对x 0连续, 对任给的

存在使当

于是对任给的时, 有

时, 有

且

从而