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一、证明题

1． 设f （x ）在（a , b ）内可导

,

使得

且

【答案】取y>0足够大, 使得

则有

再由拉格朗日定理,

使得

联合（1）式与（2）式, 即得

2． 证明下列各式:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【答案】（1）于是（2）由于于是（3）由（4）因为

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’, 求证:,

, 且

由函数极限的局部有界性知,

由函数极限的局部有界性知,,

1知

在

内有界,

在

内有界,

所以（5）（6

）设

即

于是

, 在某个

则

内

有界, 故

于是

故

（7）设

, 则

于是

故

3． 证明:

设

在

内收敛, 若

也收敛, 则

（注意:这里不管

在x=R是否收敛）, 应用这个结果证明

:

【答案】因

在

内收敛, 所以有

又x=R时, 级数

收敛, 从而由定理知

的和函数在x=R处左连续

, 从而

又因为

在

内收敛, 且级数

收敛, 所以

4．

证明级数

收敛的充要条件是:任给正数序在某正整数N ，对一切n>N总有

【答案】充分性 任给正数存在正整数N ，对一切n>N，总有

当然对n>m>N的m 有

从而

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由柯西准则知级数必要性 若级数

收敛

.

收敛，由柯西准则知对任给正数存在自然数N 1，当n>n> N1时，

特别地，取N ＞N 1 + 1, 则对任意

n>N,

有

5．

设f 为

上的奇（偶）函数. 证明

:若f 在

则

上增, 则f 在

上增（减）. , 并且

于是

【

答案】设

如果f 为奇函数, 则 即f 在即f 在

6． 举例说明:瑕积分

【答案】例如瑕积负

收敛时

上为增函数. 如果

f 为偶函数, 则

上为减函数.

不一定收敛.

, 故瑕积分

故瑕积分 7． 设

【答案】由保不等式性知

时,

于是,

故当

即当时

时, 原命题是成立的. 当

于是

由的任意性知

时, 对任给的

, 存在

证明

如果

其中

为正整数. 那么, 对任给的

,

存在

使得当

发散

收敛, 但

二、解答题

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