2017年上海财经大学数学学院601数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 证明下列结论：
(1) 设
(2) 设都存在.
【答案】(1)
对
又由
且当，所以
(2)
有
知
存在. 同理设对
由
故当
也存在
.
定义函数
则
2． 设
在在
上连续，从而一致连续，故
上连续
，
至少在两点达到最小值.
【答案】由题设知
的介值性知
，以
. 使得
在使得
_
显然
上的值域为
再由但
即F (x ) 至少在两点达到最小值.
在
又因为
上的值域也是
由连续函数
，所
且在
在
内一致连续. 处达到最小值
证明：
在在在
时
有
时，
或者
上一致连续. 内一致连续，则
时有
对
当
时
由柯西收敛准则
或者
由柯西收敛准则
，
上连续，从而一致连续，
故对上述的
取
有
，
当
则
对
，
不论哪种情况均有
在
上连续，且
存在，则
在
在
I
上一致连续；
及
在有限开区间
内连续，则
内一致连续
3． 证明：闭区间
设
不妨设
的全体聚点的集合是
则
本身。
【答案】设[a，b]的全体聚点的集合是M 。
由实数集的稠密性知，集合的一个聚点。
设
不妨设
则
中的无穷多个点，故x 0为
则
即闭区间上连续，且
的全体聚点的集合是
证明
当
本身。 时，有
即在
在
内有界，又由上有界. 设
将
在
上连续知，分拆成两项
对第二项使用第一中值定理，存在由于故证得
时
，
所以
使
从而
在
上有界.
综合上面可得
从而
的一个聚点. 总之
即
不
是
的聚点，
即
中有无穷多个实数，故a 是
b 也是的一个聚点. 同理，
故x 0的任意邻域内都含有设
故综上所述，
4． 设在
【答案】由
令
知，对于数1，存在
其中第一项当时必趋于零. 事实上
二、解答题
5． 求边长为a 密度均匀的立方体关于其任一棱边的转动惯量.
【答案】如图求
设密度为
则
图
6． 求定积分
【答案】作变量替换
则原积分
则
原积分
7． 设a , b 为给定实数. 试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：
（1）
即
【答案】（1）因为x=b不是原不等式的解，原不等式可化为
由此得不等式组
即
故当a>b时，原不等式的解是当a ，， 即
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