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一、证明题

1． 设

(2)

【答案】(1) 一方面，

则

另一方

面

或

(2

)

即

(3) —方面，由(2) 有另一方面

，

因为是一一映射，所以

综合两方面，有

2． 设f ，g 为D 上的非负有界函数. 证明：

(1) (2)

【答案】(1) 对任意

于是

所以

(2) 对任意

于是

所以

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是X 的任意子集，证明：(1) (3) 若f 是一一映射，则

则

所以

则

从而

则

故

则

使 且

即

即

使这表明

使

使

因

为这表明因

为

. 所

以

且

所

以

或总

若使

则即

使

使

若

这表明或

即

综合两方面，

有

则

且

使又

3． 设f 为

使得

上二阶可导函数

上满足拉格朗日中值定理，故存在得又因

为

使得

在

同理，存

在

使

由

于是

有

并存在一点

使得

证明至少存在一点

【答案】因f (x ) 在

上可导，由拉格朗日中值定理知，存

在

4． 设z=f(x ，y ) 在有界闭区域D 上有二阶连续偏导数，且

证明：z=f(x , y ) 的最大值与最小值只能在区域的边界上取到.

【答案】由f (x ，y ) 在有界闭区域D 上连续，所以f (x ，y ) 在D 上一定能取到最大值与最小值. 对D 内任一点(X ，y ) , 记

由已知条件知

所以

故D 内任一点都不可能是极值点，因此f (x ，y ) 的最大值与最小值只能在D 的边界上取到.

二、解答题

5． 计算曲线积分

其中为圆周：

L 的方向是：从x 轴的正方向看过去为逆时针方向. 【答案】

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6． 计算第二型曲面积分

【答案】显然

因球面的外侧单位法向量为

及

所以

7． 求下列函数的偏导数：

【答案】

8．

设

为连续函数

为任意开集

为任意闭集，试问，

是否必为开集？

是否必为闭集？

【答案】不一定，反例： (1) 对于连续函数

为开集，但

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不是开集。