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一、证明题

1． 设为区间，上严格凸函数. 证明：若数知，对任意

总有

因此，对于任意的

只要充分接近0, 总有

但是

这

与是的极小值点矛盾. 故是在I 上的惟一极小值点。

2． 设f ，g 为定义在D 上的有界函数，满足

(1

) (2

)

【答案】(1)

设

是，是f (x ) 的一个上界，而

(2)

设

只需证

只需证

是f (x ) 的最小上界，故

因为对一切

因对一切

有

于是

是

有

于

为f 的极小值点，则为，在Ⅰ上惟一的极小值点。

不妨设

由是I 上的严格凸函

【答案】反证法. 若有异于的另一极小值点

证明：

g (x ) 的一个下界，而是g (x ) 的最大下界，故

3．

设函数在由封闭的光滑曲线L 所围的区域D 上具有二阶连续偏导数，

证明

其中

【答案】由于

为

沿L 外法线方向n 的导数.

所以

由题意知

在D 上具有连续导数，故由格林公式知

因此

4． 证明公式

【答案】

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二、解答题

5． 已知

且

是在点

上的连续函数，它在处可导，求曲线注意到当在点

时.

的某个邻域内满足关系式

在点处的切线方程.

题设条件可改写为

又因为

处可导，所以

将（1）式代入改写了的题设条件（2）式，得到

从而，所求切线方程为

6． 求函数

【答案】设

令

解得

依题意，相当于求n 维空间中原点到超平面

的最短距离. 由几何学知，最短距离存在，

在条件

下的最小值.

【答案】令且

而稳定点只有一个，故一定在惟一稳定点处取得最小值，故

7． 求由下列方程所确定的隐函数的导数

.

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【答案】(1) 方程两边对x 求导，则

所以

(2) 方程两边对x 求导数，则

所以(3)

设所以(4)

令

则

则

将

代入上式，即

(5)

令所以

则

(6) 把z 看成x ，y 的函数，两边对x 求偏导数，则有

所以

把x 看成y ，z 的函数，两边对y 求偏导数，则

所以

把y 看成z ，x 的函数，对z 求偏导数，则

所以

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