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一、证明题

1． 设正项级数

【答案】因为反之未必成立. 如 2． 设

【答案】已知

且满足

. 即

证明

:

有下界又由

可推出若

则

即

单调递减. 由单调有界定理，在不等式

存在，记为

可知

矛盾.

由此可见

的极限存在，并求出其极限值.

收敛，证明收敛，故

亦收敛；试问反之是否成立？

所以收敛，而

由比较原则可知级数发散.

收敛.

两边，

令

再在不等式

中，令可得

3． 证明下列各式

【答案】(1) 令

则

因此

(2)

设

代入原方程有：

(3)

令

则

因此

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即

解之得

(4)

令

则

. 因此

4． 证明下列各题：

(1) (2) (3

) (i ) 在(4) (5)

(1) 因为【答案】一致收敛.

(2) 因为(3

) (ii )

取

对任何

令

收敛，所以__所以

所以

(4

) 而且(5

)

5． 设

【答案】方法一由于是当

时，有

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上一致收敛； 上一致收敛；

上一致收敛；

在

上不一致收敛；

上一致收敛； 上一致收敛。

收敛，所以

上

在上一致收敛. 上一致收敛.

在上不一致收敛.

收敛，所以

收敛，所以

证明：

因有极限点列必为有界点列，故存在

当

时，有

使

令

上一致收敛.

上一致收敛.

即方法二设

由所以

6． 若

在R 上存在三阶连续导数，且

有

证明:将.

至多是二次多项式.

在x 处作泰勒展开

将上两式代入所给的等式中，比较两端可得

当

时，有

由三阶导数的连续性，有

7． 设级数

【答案】设

收敛于A (有限数) . 证明

：

则有

故有

所以

【答案】只需证：

可得

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