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一、证明题

1． 设

且

是一个严格开区间套，即满足

证明：存在惟一的一点使得

【答案】由题设知

，

又

因

2． 设

(2)

【答案】(1) 一方面，

则

另一方

面

或

(2

)

即

(3) —方面，由(2) 有另一方面

，

因为是一一映射，所以

综合两方面，有

3． 设函数

在

上非负连续，

则

使

在

上连续单调增加，则

【答案】用重积分来证明. 考察差

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是一个闭区间套. 由区间套定理知，

存在惟一的点

所

以

使得即

是X 的任意子集，证明：(1) (3) 若f 是一一映射，则

则

所以

则

从而

则

故

且

即

即

使这表明

使

使

因

为这表明因

为

. 所

以

且

所

以

或总

若使

则即

使

使

若

这表明或

即

综合两方面，

有

则

且

使又

交换积分变量x 与y 的位置，仍然有

于是有

从而原不等式成立.

4． 设a ，b ，A 是均不为零的有限数，证明

【答案】因为当由所以且

再证充分性. 因为故因此有

所以

5． 证明级数

【答案】取

则当

收敛的充要条件是：任给

由级数时有

由已知条件，存在正整数N ，

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的充分必要条件是：

时

故

(当

先证必要性.

时) ，

存在某正整数N , 对一切

有

时，总有

收敛，则存在正整数

有

于是

及任意正整数P 有

由柯西收敛准则知级数

6． 设即可.

事实上，由f

是

由

由已知条件

，在收敛子列

再由

满足

及f 的连续性，令

到

的映射知，

对每一个

当

相应地存在

时

，

是有界点列. 由致密性定理

，

注意到

故

使得

记

相应

地

存

显然它是有界闭集.

可知

，

是有界集，

所以

可得

收敛. 证明

中的任何有界闭集并设

欲证，

均有界. 证明：

是闭集.

是连续映射，若对

【答案】任取点列是闭集，只需证明

7． 已知为三维空间中的有界区域，的边界为分段光滑的曲面，在

上 连续可偏导. 求证

：【答案】不妨设

于是有

为外法向量，u (x ，y ，z )

8． 利用单调有界原理证明下列结论：

(1) 设(2) 设(3)

设等。

【答案】(1) 因为

所以

单调递增. 由不等式

得

即

有上界，从而数列

收敛.

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则数列则数列

收敛； 收敛；

则

与

都存在且相