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一、证明题

1． 用定义证明下列极限：

【答案】(1) 不妨

设

时有

由

于

故

即(2)

由不等式

得

于是取

则当

时有

故

2． 设

为

内的递增函数. 证明

:

与

【答案】

即

对

在在时有

内单调递增，

取

内有上界，从而有上确界，记

使

得

故

类似可证

必可以表示成偶函数

与奇函数

对

取

则

当由

知

都存在，且

于是

取

则

当

由上确界定义

知

3． 证明：定义在对称区间(-1，1) 内的任何函数之和的形式，且这种表示法是唯一的.

【答案】令

则

下证唯一性. 若还存在偶函数用

式有

且容易证明和奇函数

是偶函数，满足

是奇函数.

则有

由①+②可得

4． 设1) 内连续。

【答案】这表明

令

得在式(1) 中，令由式(2) 、式(3) 知，由的任意性知，

5． 证明

在

【答案】取虽然满足

得

所以

再代入①式可得

与

在(0, 1) 内都是单调不减的. 试证：有

即

知对

有

在(0，

在(0, 1) 内有定义，且函数

可知，对

都存在. 又由

即

类似地可证：

在(0，1) 内连续. 上不一致连续.

从而在点连续.

但是因此，

在

上不一致连续.

6． 证明：闭域必是闭集，举例说明反之不真.

【答案】(1) 设D 为闭域，则有开域G 使

其中为G 的边界，设.

中为G 的余集即关于

下证

则

且由知：对任意

其

的补集. 由于从而存在

若不然，则存在

中含有G 的点Q , 于是因此②真，由①知

故不是D 的聚点，这就证明了：若为D 的聚点，则. (2) 例如

7． 设

证明：

并讨论备不等式中等号成立的条件和解释【答案】由三角不等式有

即

又

即

所以丨

等号成立的条件为

(k 为实数) ，当

时等式的几何意义

为：任一三角形中一边大于或等于另外两边之差。

8． 设证明：

(1) (2) (1) 设(2) 设

右边

9． 设f 为定义在界.

【答案】(1) 设f 为定义在

因为f

在

任意的

得，对任意的

上的增函数

上有上确界. 设使得

则对

由f 是增函数可

存在

上有上界，由确界原理可知且对任给的

有

于是当充分小时由于

从而

这与以上结论矛盾.

因此D 为闭集.

是闭集，但不是闭域.

时的几何意义。

左边. 左边.

上的增(减) 函数. 证明

存在的充要条件是f 在

上有上(下)

则 右边

则

【答案】可以看出交换a , b 的位置，这两个等式两边的值都不变. 不妨假设