2018年云南师范大学数学学院719高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足
的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于性相关. 又由方法2:设考虑到
即
知
，
由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
所以有
所以有
可推得AB 的第一列
并记A 各列依次为
从而
线
由于
不妨
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.
2． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ,
则有（ ）.
A. 交换A 的第1列与第2列得B B. 交换A 的第1行与第2行得B C. 交换A *的第1列与第2列得- B* D. 交换A *的第1行与第2行得- B* 【答案】C
【解析】解法1:题设又
所以有
*
*
*
*
与分别为A , B 的伴随矩阵，
所以有
即
右乘初等阵
得
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解法2
题设
因此
所以
即
3． 设
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为但D 中
所以
不一定线性无关. 而
由于故
是
，因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
，因此
不是
的特解，从而否定A ，C.
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，则Ax=b的通解为（ ）
的基础解系. 又由
4． 在n 维向量空间取出两个向量组, 它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
中选三个向量组
，从而否定A , 若选
若选, ，从而否定C ,
故选B.
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.
记
A.
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则A=（ ）.
C. D.
【答案】D
【解析】由题设知，所以
二、分析计算题
6． 已知
（1）A 的特征多项式
是6阶方阵A 的极小多项式，且
及若当标准形.
为6次多项式，且
从而A 的特征多项式
A 有初等因子
的若当标准形为
，试求
（2）A 的伴随矩阵A*的若当标准形. 【答案】 （1）设A 的不变因子为
由于A 的极小多项式是A 的最后一个不变因子，所以
又A 的特征多项式以
，所
（2）由（1）知，存在可逆阵P , 使
又显见，所以有
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