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一、分析计算题

1．

复方阵A 称为幂零的, 若有正整数k 使【答案】必要性. 设

是A 的一个特征值,

证明:A 是幕零阵的充要条件是A 的全部特是属于

由于

故

即

等于

（因

）的根全为零）. 由哈

的特征向量. 于是

则

征值皆为零.

充分性.A 的特征值全为零, 故A 的特征多项式密顿-凯莱定理有 2． 设求

即A 是幂零的.

【答案】由A 的特征多项式

故故

由

于是

3． 称以下行列式为循环行列式. 证明:

是A 的零化多项式. 作带余除法，得

»

其中

【答案】设为n 次原根且n 阶范德蒙德行列式，则易知

为n 次单位根.

，又设是第二行元素是

的

因为，故.

4． 求矩阵A 的最小多项式, 其中

【答案】解法1 A 的特征多项式为

的首一因式

为

解法2 将A 的特征矩阵化为标准形

故A 的最后一个不变因子解法3 由

知1是A 的3重根, 1的几何重数为:

故其若当标准形为

故最小多项式为 5． 设

是其最小多项式. 由

故A 最小多项式

为

n 阶复矩阵A 的特征根都不是为A 的复系数多项式，

为满秩矩阵，且

的逆矩阵可表为A 的多项式.

的零点. 试证

:

【答案】设

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且A

的n

个特征值为

所以f （A ）可逆. 又因为

③

其中

由凯莱定理，知

即f （A ）的逆矩阵可表为A 的多项式

g （A ）

. 6

． 设

则f

（A ）的n 个特征值为

由假设可知

是整系数多项式，

若

在. 由

上可约，则

为奇数，则

在有

理数域上不可约

.

【答案】设其中数.

为奇数， 7．

设（2

）求

可以分解成一次与二次整系数多项式的乘积，设

为奇数，则为奇数. 由知均为奇为偶数，矛盾，故

在上不可约.

成为对角阵；

所以A 的特征值为

（

n 是正整数）.

（

1）求正交矩阵P

，使【答案】 （1

）计算可得当当令

时，得特征向量 时，得特征向量

则

（2）由①式有