2018年中原工学院理学院806常微分方程考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 解方程
：
【答案】由已知条件可得
：
故两边同除以
得
所以有
故原微分方程方程的通解为
2． 证明线性非齐次方程的叠加原理：
设|
分别是线性非齐次方程
的解，
则
是方程
的解.
【答案】由题意，
有
把：代入方程（1
）的左端得
3． 验证下列各函数是相应微分方程的解：
⑴
（2
）
（3
）
（4
）
（5
）
（6
）
（7
）
（8
）
【答案】
⑴!
因此
，
（2
）是方程的解.
因此
，
（3
）
因此
，
（4
）
因此
，
（5
）是方程是方程是方程的解. 的解. 的解.
因此
，
（6
）是方程I 的解.
并且
所以
，
（7
）
-
是方程的解.
因此
（8
）
是方程•的解.
而且
因此
，
是方程•的解.
4． 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：
（1）曲线上任一点的切线与该点的径向夹角为零；
（2）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长1;
（3
）曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数
（4）曲线上任一点的切线介于两坐标轴间的部分被切点等分；
（5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；
（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项；
（7）曲线上任一点的切线的斜率与切点的横坐标成正比.
（提示：过点x ，y
）的切线的横截距和纵截距分别为
【答案】
⑴
（2
）
（3
）
（4
）
（5
）
（6
）
和）