2018年郑州轻工业学院数学与信息科学学院821常微分方程考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 求一曲线方程，使曲线上任一点平分过该点的法线在两坐标轴之间的线段.
【答案】设所求的曲线为y=y（x ），过曲线上任一点（x ，y
）的法线方程为
它与x , y
轴的交点分别为
由题可得
故这条曲线满足方程
解之得，这就是所求曲线方程. 即
2． 证明若y （x
）是方程
上连续函数.
【答案】
由方程得
满足条件的解，
则其中p （x
）是
或
所以
当时，
得
代入上式得
3．
求解方程
并求通过曲线的积分曲面.
【答案】这是拟线性偏微分方程，
其特征方程组为
由此得
代入
易知
•
解得一个首次积分为中得
，解得另一个首次积分为是两个独立的首次积分，所以原方程的通解是
其中为任意二元连续可微函数
.
将
代入两个独立的首次积分中，
得
从而所求的曲面方程为
4． 给定微分方程组
其中有一阶连续偏导数. 试证明在原点邻域内如当
则零解是渐近稳定的，当则零解是不稳定的.
【答案】显然原方程组由初始条件所确定的解，在原点的某个邻域内存在且惟一
.
是方程组的特解.
取定正函数
则其沿着方程组解的全导数为
因此，
在原点邻域内：
当
当时，则时，则
定负，零解为渐近稳定的；定正，
零解为不稳定的.
试证方程5．
设函数f （u
），
g （u ）连续、可微且
有积分因子
【答案】用乘方程两端，得
因为
所以
，是原方程的积分因子.
6．
指出下列微分方程的阶数并判断是否为线性方程
【答案】（1）一阶线性；（2）三阶线性.
7．
设
是微分方程在区间[a, b]上的解，试证明对于任意常数c
，
也是这个微分方程的解，并确定它的定义区间.
【答案】
因为
且因为
所以
即
定义于也是方程的解，
又由于
定义于
所以
8．
解三阶方程组
其中
【答案】系数矩阵A
的特征方程为
所以
下面求解对应特征值的特征向量：
由
即
可得