2018年中原工学院理学院806常微分方程考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 试证：
如果
是方程组
满足初始条件的解，
那么
【答案】
由于方程组
的基本解矩阵是设
.
的形式为
则由初始条件得
而
所以代入式（1
）得
2．
求的通解.
【答案】
因
方程有积分因子
用乘全式，
有
方程有通解
3．
当方程的等倾线就是积分曲线时，f （x , y ）应满足什么条件？
【答案】由于方程的等倾线f （x , y ）=0就是积分曲线，
所以
即f （x ，y
）应满足的条件为
4．
试求方程组
满足初始条件的解，并求出它的基本解矩阵.
【答案】
令
对方程组进行拉普拉斯变换，
可得
即
由上面方程组解出
有
的解
的解取拉普拉斯变换逆变换，
得满足初始条件
为了寻求基本解矩阵，
再求满足初始条件
同理，
可得
其解为
所以，
基本解矩阵为
5．
证明微分方程
的任一个解的存在区间都是有界的.
【答案】右端函数
解的存在惟一性定理，
所以方程
在整个xOy 平面上连续，且对y 有连续的偏导数，根据
经过平面上任意一点
说，解
在区间
即显然是一个有限区间. 当的解是存在且惟一的，并将延拓到无限远. 但还不能为它的右侧最大存在区间，当使得
时
，时，
则存在正数因此上面的解
的最大存在区间是无界的. 设内满足方程（1）,
由此推出
或者
从
到积分此不等式，
得
于是
由此推出
6．
求微分方程是一个有限数，
即是一个有限区间. 的直线积分曲线.
的直线积分曲线为
则
【答案】
设方程
所以
即得k=b=0或k=b=l.
因此，
方程
的直线积分曲线为
或
7． 求一曲线族，使它的切线介于坐标轴间的部分被切点分成相等的两部分.
【答案】方法一
斜率为设所求曲线方程为; y=y（x ），过曲线上任一点P （x , y ）的切线交Ox 轴于点A ，交Oy 轴于点B ，由题意，P 为AB 的中点，不妨设A （2x , 0），B （0, 2y ）），则切线
另一方面，曲线在P
点的切线的斜率为
得
将变量分离，
得到
两边积分得
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