2018年郑州轻工业学院数学与信息科学学院821常微分方程考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
讨论方程组的奇点类型；其中hc
为常数且
故其有唯一的奇点，
即原点
又由
【答案】
因为方程组满足条件
得则方程组的奇点（0, 0）可以分为以下类型
：
2． 证明：
方程组
的线性近似方程组的零解不稳定，但原方程组的零解是渐近稳定的。
【答案】
线性近似方程组为
有重零特征值，
解为
则零解不稳定。对原方程组，取定正V
数为
定负，零解渐近稳定。
3．
证明微分方程
的任一个解的存在区间都是有界的.
【答案】右端函数
解的存在惟一性定理，
所以方程
在整个xOy 平面上连续，且对y 有连续的偏导数，根据
经过平面上任意一点
说，解
在区间
即
由此推出
或者
显然是一个有限区间. 当的解是存在且惟一的，并将延拓到无限远. 但还不能为它的右侧最大存在区间，当使得
时
，时，
则存在正数因此上面的解
的最大存在区间是无界的. 设内满足方程（1）,
从
到积分此不等式，
得
于是
由此推出是一个有限数，
即是一个有限区间.
4．
给定一阶微分方程
（1）求出它的通解；
（2）求通过点（1，4）的特解；
（3）求出与直线y=2x+3相切的解；
（4
）求出满足条件的解；
（5）绘出（2），（3），（4）中的解的图形.
【答案】（1
）由
得
方程两边积分，
即得
所以，
方程
（2
）把的通解为代入这是c 为任意常数. C 为任意常数. 得c=3.
所以过点（1，4）的特解为
（3）因为与直线相切，
所以方程组
有且只有惟一一组解，
即
（4
）因为有惟一解，故c=4.因此，
与直线
相切的解是
所以
，
即满足条件
的解为
（5）在（2）、（3）、（4）中的解的图形分别为图中各图所示
.
图
5． 求解下列方程：
（1）
（2
）
（3
）
（4
）
（5
）
（6
）
【答案】（1）解法一解出X ,
并以代入，得到
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