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一、计算题

1． 设总体密度函数为

【答案】对数密度函数为

将上式对θ求导，得到

二阶导函数为

2． 设

是来自

的样本,

试求常数c 使得

的自由度.

【答案】由条件

:

立, 因而

, 故

这说明当

时,

, 自由度为

且

相互独

服从t 分布, 并指出分布

于是

x ＞c ，c ＞0已知，θ＞0，求θ的费希尔信息量I （θ）.

3． 某种福利彩票的奖金额X 由摇奖决定, 其分布列为

表

若一年中要开出300个奖, 问需要多少奖金总额, 才有95%的把握能够发放奖金. 【答案】记

为第i 次摇奖的奖金额, 则可得.

. 设奖金总额为k , （万元）

根据题意可列如下不等式

再用林德伯格-莱维中心极限定理可得

由此查表得

, 从中解得

, 取

（万元）即可.

这表明:该福利彩票一年开出300个奖需要准备9488万元, 才能以95%的把握够发奖金.

4． 设

是来自正态总体的一个样本，对考虑如下三个估计

（1）哪一个是的无偏估计？

故有

从而

（2）哪一个均方误差最小？ 【答案】（1）由于

这说明仅有的无偏估计，而的有偏估计.

（2）我们知道，估计的均方误差是估计的方差加上偏差的平方，即

而

这给出

于是

显然

所以

的均方误差最小.

5． 设一个质点落在xOy 平面上由x 轴、y 轴及直线x+y=l所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的概率与这区域的面积成正比，试求此质点还满足y<2x的概率是多少？

【答案】由题设知这个概率可由几何方法确定，为此将样本空间用图表出，图中阴影部分为事件A ，由图2

知

和事件A“此质点满足y<2x”

由此得

和A 的度量分别为：

图

6． 口袋中有5个白球，8个黑球，从中不放回地一个接一个取出3个. 如果第i 次取出的是白球，则令

（1）（2）【答案】⑴

将以上计算结果列表为

表

1

，否则令

的联合分布列.

求

的联合分布列；

（2）

将以上计算结果列表为

表

2

7． 设试找出

【答案】

独立同分布服从

与t 分布的联系, 因而定出的密度函数.

的联合密度函数为

记。