2017年吉林大学概率论与数理统计复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1 设各零件的质量都是随机变量, 它们相互独立, 且服从相同的分布, 其数学期望为0.5kg , 标准差．
为0.lkg , 问5000只零件的总质量超过2510kg 的概率是多少？
【答案】记
为第i 只零件的质量, 由
得
利用林德伯格-莱维中心极限定理, 所求概率为
这表明:5000只零件的总质量超过2510kg 的概率近似为0.0787.
2．
设总体为均匀分布
拒绝域取为
0.05, n 至少应取多大？
【答案】均匀分布
的最大次序统计量
的密度函数为
因而检验犯第一类错误的概率为
它是的严格单调递减函数，故其最大值在若要使得
则要求
处达到，即
这给出
即n 至少为17.
3． 假定电话总机在某单位时间内接到的呼叫次数服从泊松分布，现观测了40个单位时间，接到的呼叫次数如下：
在显著性水平0.05下能否认为该单位时间内平均呼叫次数不低于2.5次？并给出检验的p 值. 【答案】以X 记电话总机在该单位时间内接到的呼叫次数，可认为设为
而
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是样本，考虑检验问题
求检验犯第一类错误的最大值
若要使得该最大值不超过
，则要检验的假
由于n=40较大，故可以采用大样本检验，泊松分布的均值和方差都是
因而，检验的统计量为若取拒绝原假设.
由于u 在成立时，服从标准正态分布，因而检验的p 值为
4． 设
是来自均匀分布U （
）,
则
检验的拒绝域为
由于u=—2.1落入拒绝域，故
的样本, 试给出充分统计量.
【答案】总体的密度函数为 于是样本的联合密度为
令
并取
由因子分解定理,
为的充分统计量（这里没有一维的充分统计量）. 这表
明:充分统计量的维数不一定等于未知参数个数.
5． 袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球. 以X ，Y ，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.
（Ⅰ）求
.
（Ⅱ）求二维随机变量（x ，y ）的概率分布.
【答案】由于本题是有放回地取球，则基本事件总数为（Ⅰ）
（Ⅱ）X ，Y 的可能取值均为0，1，2, 且
所以二维随机变量f （x , y ）的概率分布为
表
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6． 用一个仪表测量某一物理量9次，得样本均值
（2）求该物理量真值的置信水平为0.99的置信区间. 【答案】（1）此处
，的
置信区间为
查表知
，样本标准差s=0.22.
（1）测量标准差大小反映了测量仪表的精度，试求的置信水平为0.95的置信区间；
从而的置信水平为0.95的置信区间[0.1487，0.4215] （2）当未知时，的查表得
置信区间为
，因而的置信水平为0.99的置信区间为
7． 将n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入N 个盒子中，试求：
（1）某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率； （2）恰好有m 个空盒的概率；
（3）某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率.
【答案】先求样本点总数，我们用N+1根火柴棒排成一行，火柴棒之间的N 个司隔恰好形成N 个盒子，并依次称它们为第1个盒子，第2个盒子，…，第N 个盒子，n 个球用“0”表示，考虑到两端必须是火柴棒方能形成N 个盒子，所以n 个（不可辨）球放入N 个（可辨）盒子中，就相当于把N-1根火柴棒（N+1根火柴棒中去掉两端的两根）和n 个“0”随机地排成一行，譬如N=4, n=3时，“10010111”表示第1个盒子中有2个球、第2个盒子中有1个球、第3、4个盒子中无球，这样一来，n 个球放入N 个盒子所有的样本点总数相当于：从N-1+n个位置任选n 个位置放“0”、其
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