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一、证明题

1． 利用导数定义证明

：

【答案】

2． 证明：若f (x ，y ) 在有界闭区域D 上连续，g (x ，y ) 在D 上可积且不变号，则存在一点使 得

【答案】不妨设

令M , m分别是f 在D 上的最大、最小值，从而

若若

则由上式•则必大于0, 于是

由介值性定理，存在

使得

即

3． 设函数

【答案】令

定义在

上，证明它在

则

所以

其中c 为常数，又

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于是任取即可.

上满足下述方程：

所以

4． 证明：若函数f (x ) 在(a ，b ) 内有连续导数

且

则函数列【答案】因为

即函数列取朗日定理得

由

上连续，从而一致连续，则

当满足

即

对时有

于是有

5． 设故只需考虑

故若当

证明数列

与级数_

收敛，必有时，有

与即

上一致收敛于与级数

间的关系. 因为

收敛；若，同时发散；当

故若

进而 6． 求

【答案】

由

上收敛.

收敛必有

收敛，

即有

收敛；若，

. 发散，

则有

发散，

发散，必有

时

发散.

当n>N时，

对

的极限函数为

当

时有

于是当

时，由拉格

在(a ，b ) 内闭一致收敛于函数

存在正整数

同时收敛或同时发散.

的敛散性相同，

【答案】注意到数列的敛散性与正项级数

发散. 所以原数列与原级数同时收敛或同时发散.

及

的收敛性知

，

在

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又由

上一致收敛.

由可微性定理，有

及的收敛性知，

积分

在

即

解此常微分方程可得

7． 设函数

在

上严格单调増加，求证：函数

也在【答案】

上严格单调増加.

且设

于是

同理可证

8． 设二元函数

证明：对任意

【答案】应用微分中值定理，有

其中介于

与之间，介于

与

之间.

在

上严格单调增加. 在区域

成立

上可微，且对

有

因为

在

上严格单调増加，所以

二、解答题

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