2017年电子科技大学数学科学学院601数学分析之数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
和
为正项级数，且存在正数
对一切
证明：若级数【答案】由题意
收敛，则级数
时，
也收敛；若
从而
又因为改变有限项不改变的敛散性，所以由比较原则，若级数若发散，则也发散.
2． 设求证
：
【答案】方法一：
联合
与
当当即得
3． 证明：反常积分
【答案】因为
在
所以有
上一致收敛.
又因为
收敛，根据魏尔斯特拉斯判别法可知，反常积分
4． 证明：函数项级数
【答案】由于对任意
的
在
上不一致收敛，但和函数在所以存
在
〈一致收敛于0, 从而使
得
在
上无穷次可微.
上不一致收敛. 由于对任意的
在
上一致收敛.
即得
和
两种情况考虑
.
，
时，
方法二：分
时，
收敛，则级数
也收敛；
发散，则
也发散 有
，
有
在
的任意性可知和函数在
且由根式判别法易知
|上一致收敛，从而用数学归纳法可得和函数在1上无穷次可微.
收敛，
所以
上无穷次可微. 由
二、计算题
5． 计算积分
【答案】
的原函数不是初等函数，
且
将
在0与1没定义，
却有极限
在0与1作连续延拓，即
从而已
知
上连续，于是
6． 试确定a 的值，使下列函数与当
时为同阶无穷小量：
【答案】（1）当
时，
因而
故当（2）
当
时 时
.
当
时为同阶无穷小量.
在区间[0, 1]上连续.
而函数
，
在闭的矩形区
域
即当（3）
于是当
时，
故当（4）
可以看出当
时，
故当
时，
与当
时
时
，
上
1时为同阶无穷小量
时
.
与
当
时为同阶无穷小量.
为同阶无穷小量.
7． 验证下列积分与路线无关，并求它们的值：
【答案】
所以积分与路径无关，取路径y=x，得
(2) 由路径
如图，则
所以积分与路径无关，取
图