2017年大连大学师范学院845数学分析[专业硕士]考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数明：(1) 存在
【答案】(1) 令
在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0, 1) 内可微，且
使得
(2) 存在则
函数函数
在闭区间[0, 1]上连续， 在闭区间[0，1]上连续.
使得
(2) 令
显然
在闭区间[0, 1]上连续，在开区间(0，1) 内可微. 由于
且由(1) 的结论知，存在根据罗尔中值定理，存在由于
2． 用定义证明:(1) 若
(2) 若
则则
【答案】(1) 由
知，
当时
固定
时，有
，有
所以有
即
..
使得使得
即
即存在
使得
使得
证
由连续函数的零点存在定理知，存在
其中
，
上述
当
时，有
从而
(2) 令
则当
时，
于是
由(1) 知，上式的第二、三项趋向于零. 下证第四项极限也是零. 事实上，由
知，
有界，即存在
使
故
从而(2) 的极限是ab.
3． 设函数
在
上严格单调増加，求证：函数
也在【答案】
上严格单调増加.
且设
于是
同理可证
4． 设曲面z=f(x , y ) 二次可微，且要条件是：
【答案】
为一条直线即由f (x ，y ) =c所确定的隐函数y=y(x ) 在XOy 平面上表示
而
故
由此可见，命题成立.
对固定的而言，它是一个确定的常数. 故对
因为
在上严格单调増加，所以
在上严格单调增加.
证明：对任给的常数c ，f (x ，y ) =c为一条直线的充
一条直线. 显然，y=y(x ) 是一条直线
二、解答题
5． 设f 是一元函数，试问应对f 提出什么条件，方程就能确定出惟一的Y 为z 的函数？
【答案】设
且
因此只需
1
在
的某邻域内连续，则
时，方程
在
，则
的某邻域内连续. 所以，当
就能惟一的确定为的函数.
在点
的邻域内
在的某邻域内连续，且
6． 计算
【答案】由
推得
令
则有
7． 设
【答案】因为
所以函数是连续的. 因为
讨论函数的连续性和可微性.