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一、证明题

1． 设f 为定义在R 上以h 为周期的函数，a 为实数. 证明：若f 在有界.

【答案】因为f (x ) 在得

2． 证明域

使得

于

是

故f (x ) 在R 上有界.

在区间I 上内闭一致收敛于f 的充分且必要条件是：对任意在，所以

收敛于f.

充分

性

当

上所有点时，

取所以

3． 设那么

时

，

由已

知

使

得

有

在

上一致收敛于f. 从

而

显然，当取遍[a，b]

上一致收敛于f. 总存在

的一个邻域而

和I 的一个内闭区间[a, b]，

使得

在

上一致

在[a, b]上一致收敛于f ，因此

存在的一个邻

上有界，所以存在M>0, 使得对任意

对于任意

即

有

正

数h 的所有整数倍从小到大依次为：

必存在惟一整数k ，使

I 上有界，则f 在R 上

由于h 是f 的周期，因

而

【答案】

必要性

覆盖[a, b].由有限覆盖定理，存在有限个区间覆盖[a，b].不妨设

，有

则当n>N时，

在I 上内闭一致收敛于f.

在[a, b]上一致收敛. 由[a, b]的任意性，得证明：若对任何正数

那么

有

设

则a=b.

【答案】用反证法. 假设则取因为

不成立. 这与题设矛盾，故a=b.

在

所以有

上一致收敛.

又因为

收敛，根据魏尔斯特拉斯判别法可知，反常积分

在

上一致收敛.

4． 证明：反常积分

【答案】因为

二、计算题

5． 求下列函数的傅里叶级数展开式：

【答案】(1) f (x ) 是以为周期的连续奇函数，故

由收敛定理

(2) f (x ) 是以2π为周期的连续偶函数，故

由收敛定理

6． 讨论下列问题：

（1）

在点

的可导性，其中

（2）（3）的点.

【答案】（1）因为

则

在点

可微，但在

的任何一个邻域内有不可微

故由于

故

（2）因为

所以

因

在点只在点

可导，且

都不连续，从而

在点

不可导.

不存在.

连续，在其他任一点

（3）因为

故取

因为

所以

7． 设函数下，方程

并研究例子：

【答案】设

故由教祠(i ) 设

注意2知，

若

由于

都在R 上连续，且

同理从而

在处不可微. 因故在

的任何邻域内都有不可微点.

在区间

内连续，函数

在区间

内连续，而

问在怎样的条件

能确定函数

显然

在上连续

.

即存在点

，满足

又

就可在

附近确定隐函数