2017年大连大学教育部先进设计与智能计算重点实验室716数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
在
上二阶连续可微，对于任何
证明:无穷积分【答案】因为有
所以存在
由于
因此
有
由泰勒定理，存在可得
.
有
所以
由于
2． 证明：若
【答案】因为于是当n>N时，有
3． 设
(1) 存在
在
使
(2) c 的最小值为. 【答案】(1) 将则
由巴塞伐尔等式得
在
上展开成正弦级数
上连续可导，
则对任一正整数k , 有
所以，对于任给
所以
存在N , 当n>N时，
因此证明：
收敛，根据比较原则，
收敛. 所以
收敛.
收敛.
所以对任意充分大的正数
存在
当
时，
且
故
由此可见，只要式，
故c 的最小值为 4．
设
【答案】因为
所以，当
时
在S 的外部时，由高斯公式，有
在S 上时，
如果S 在敛。
同样，取充分小的
记为以
为球心，为半径的球面，用表示从S 上被截
下而不被所包围的部分曲面，
表示上含在V 内的部分，则
其中，取内侧. 因为s 在点
是光滑的，在点
有切平面，所以S 在点(0, 0, 0)
为无界函数的曲面积分，且
收
S 为一封闭曲面
，
证明当原点在曲面S
外、上、内时分别有
.
上述不等式总成立.
使式(1) 中等号成立. 易见，当
时，式
变成等
(2) 为求c 的最小值，必须求
是光滑的，由类似于无界函数的二重积分的讨论，可知反常积分
的附近可用这个切平面近似代替，即S 2可看作的半个球面，故
在S 的内部时，取充分小
使以
为球心，为半径的球面在V
的内部，记为S 和所围成的区域，取内侧，则
二、解答题
5． 求极限
【答案】由可得
于是，
原极限
6． 回答下列问题：
(1) 对极限(2) 对(3) 对|
【答案】(1) 因为
因而
但是
即交换运算后不相等，
这是由于
能否施行极限与积分运算顺序的交换来求解？ 能否运用积分顺序交换来求解？
能否运用积分与求导运算顺序交换来求解？
在上不一致收敛，从而不符合