2017年大连大学师范学院845数学分析[专业硕士]考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设当
时(x ) , 所以
而
从而
证明：
两者中至多有一个在x=0连续.
因为
时
这与题设
矛盾. 故f 与g 两
【答案】反证法. 假设f (x ) 、g (x ) 都在x=0连续，
则
者中至多有一个在x=0连续.
2． 设在内无上界，求证
：
【答案】
由于
对
产生一序列
3． 设为
使得
在
对由
内无上界，
对
因为2不是上界，所以
使得
对
使得
因为1不是上界，
所以
使得.
，
使得
依此下去，
因为3不是上界，
所以
因为n 不是上界，所以及广义极限不等式知
又设
内的连续函数，所以
上的连续减函数，
证明为收敛数列。
为
【答案】因
因此，数列可见
有下界，又因
为递减数列，由单调有界定理知
收敛。
证明：
4． 设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集
(1) . (2)
【答案】(1) 对任意的
因此
对于任意正
数
，故
(2) 同理可证.
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存在
是A+B的一个上界.
使
得即
于是
，
并
且
使得c=a+b, 则设
于是
. 存
在
二、解答题
5． 计算重积分
其中D 是以
为顶点，面积为A 的三角形.
【答案】可以利用重心公式直接求得结论，本题采用具有一般性的方法进行求解. 三角形为凸集，它的点总可表示为
作变换：
所以
6． 计算
【答案】由
推得
令
则有
7． 验证下列线积分与路径无关，并计算其值：
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其中
【答案】(1) 因
在球面上。
所以所给路曲线积分与路径无关，从而
(2) 因
所以所给曲线积分与路径无关，且
由于
和
在球面上，所以原式=0
8． 计算沿空间曲线的第二型曲线积分：
(1) (2
)
线，其方向按曲线依次经过
【答案】(1) 曲线的参数方程为
依次经过1，2, 7, 8卦限，于是
(2) 记球面图所示，则
与xy 平面的交线为
与yz 平面的交线为
与zx 平面的交线为
如
其中L 为
与
相交的圆，其方向按曲线依次经过其中，L 为球面
平面部分，yz 平面部分和zx 平面部分.
当从0增加到
时，
点卦限；
在第一卦限部分的边界曲
图
其中
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